KOTIMART

Chia sẻ tài liệu Toán THPT Quốc Gia

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2021 - Hòa Bình





LUYỆN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA HÒA BÌNH (ONLINE) LỜI GIẢI CHI TIẾT


Câu 1. Biết $\displaystyle\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=2$, $\displaystyle\int\limits_0^2g(x)\text{d}x=3$ . Khi đó tích phân $\displaystyle\int\limits_0^2\left[f(x)-2g(x)\right]\text{d}x$ bằng:
A. $-4$.
B. $-1$.
C. $4$.
D. $1$.

Lời giải câu 1

Ta có: $\displaystyle\int\limits_0^2\left[f(x)-2g(x)\right]\text{d}x=\displaystyle\int\limits_0^2f(x)\text{d}x-2\displaystyle\int\limits_0^2g(x)\text{d}x=2-2.3=-4$ .

Câu 2. Điểm $A$ trong hình vẽ bên biểu diễn số phức $z$ . Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

A. $z=2+3i$.
B. $z=3-2i$ .
C. $z=3+2i$.
D. $z=-3+2i$.

Lời giải câu 2

Ta có điểm $A\left(3;2\right)$ . Suy ra số phức $z=3+2i$ .

Câu 3. Cho hai số phức $z_1=2+3i$ , $z_2=3-2i$ . Số phức $z_1z_2$ bằng
A. $12-5i$ .
B. $12+5i$.
C. $-12+5i$.
D. $-12+18i$.

Lời giải câu 3

Ta có: $z_1z_2=\left(2+3i\right)\left(3-2i\right)=12+5i$ .

Câu 4. Cho khối nón có chiều cao $h=5$ và bán kính đáy $r=2\sqrt{5}$ . Đường sinh $l$ của hình nón đã cho là
A. $l=\sqrt{5}$ .
B. $l=3\sqrt{5}$.
C. $l=2\sqrt{5}$.
D. $l=7\sqrt{5}$.

Lời giải câu 4

Đường sinh $l$ của hình nón đã cho là $l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{25+20}=3\sqrt{5}$ .

Câu 5. Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A\left(1;-1;1\right),\,B\left(0;1;2\right),\,C\left(1;0;1\right)$ . Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là
A. $G\left(1;0;2\right)$ .
B. $G\left(\dfrac{2}{3};0;\dfrac{4}{3}\right)$.
C. $G\left(2;0;4\right)$.
D. $G\left(\dfrac{4}{3};0;\dfrac{2}{3}\right)$.

Lời giải câu 5

Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là $G\left(\dfrac{1+0+1}{3};\,\dfrac{-1+1+0}{3};\,\dfrac{1+2+1}{3}\right)=\left(\dfrac{2}{3};\,0;\dfrac{4}{3}\right)$ .

Câu 6. Đạo hàm của hàm số $y=\ln\left(x^2+1\right)$ là
A. $\dfrac{2x}{x^2+1}$.
B. $\dfrac{1}{x^2+1}$.
C. $\dfrac{x}{x^2+1}$.
D. $2x\left(x^2+1\right)$.

Lời giải câu 6

Đạo hàm của hàm số $y=\ln\left(x^2+1\right)$ là $y'=\dfrac{\left(x^2+1\right)^{\prime}}{x^2+1}=\dfrac{2x}{x^2+1}$ .

Câu 7. Nghiệm của phương trình $4^{x-1}=8$ là
A. $x=\dfrac{5}{2}$.
B. $x=3$.
C. $x=2$.
D. $x=\dfrac{3}{2}$.

Lời giải câu 7

Ta có $4^{x-1}=8\Leftrightarrow{2^{2x-2}}=2^3\Leftrightarrow 2x-2=3\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}.$

Câu 8. Cho hàm số $f(x)=4x^3-3x^2+2x$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. $\displaystyle\int{f(x)dx=4x^4-3x^3+2x^2+C}$ .
B. $\displaystyle\int{f(x)dx=x^4-x^3+x^2+C}$.
C. $\displaystyle\int{f(x)dx=16x^4-9x^3+4x^2+C}$.
D. $\displaystyle\int{f(x)dx=\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+C}$.

Lời giải câu 8

Ta có $\displaystyle\int{f(x)dx=\displaystyle\int{\left(4x^3-3x^2+2x\right)dx}=x^4-x^3+x^2+C}$

Câu 9. Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left(-1;0\right)$.
B. $\left(-\infty ;-1\right)$.
C. $\left(0;+\infty\right)$.
D. $\left(0;1\right)$.

Lời giải câu 9

Từ bảng biến thiên, ta suy ra hàm số nghịch biến trên $\left(-1;0\right).$

Câu 10. Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng đạo hàm xét dấu $f'(x)$ như sau

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. $1$.
B. $2$ .
C. $3$.
D. $0$.

Lời giải câu 10

Câu 11. Thể tích của khối chóp có chiều cao $h$ và diện tích đáy $B$ là
A. $V=3Bh$.
B. $V=Bh$.
C. $V=\dfrac{1}{2}Bh$ .
D. $V=\dfrac{1}{3}Bh$.

Lời giải câu 11

Câu 12. Bạn Bình có 7 áo sơ mi và 5 quần âu đôi một khác nhau. Trong ngày tổng kết năm học, Bình muốn chọn trang phục gồm một quần âu và một áo sơ mi để đi dự lễ. Hỏi Bình có bao nhiêu cách chọn trang phục?
A. $25$.
B. $49$ .
C. $35$.
D. $12$.

Lời giải câu 12

Có $7$ cách chọn một áo sơ mi và 5 cách chọn một quần âu cho ngày tổng kết.
Theo qui tắc nhân, Bình có $7.5=35$ cách chọn trang phục.

Câu 13. Số phức $z=\left(1-i\right)^2\left(1+2i\right)$ có phần ảo là
A. $2$.
B. $4$ .
C. $-2$ .
D. $-2i$.

Lời giải câu 13

Ta có $z=\left(1-i\right)^2\left(1+2i\right)=4-2i$
Suy ra $z$ có phần ảo là $-2$ .

Câu 14. Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Số giao điểm của đồ thị hàm số trên và đường thẳng $y=-\dfrac{3}{2}$ là

A. $2$.
B. $4$.
C. $1$.
D. $3$.

Lời giải câu 14

Vẽ đường thẳng $y=-\dfrac{3}{2}$ trên hệ trục tọa độ ta có hình sau

Suy ra đường thẳng $y=-\dfrac{3}{2}$ cắt đồ thị hàm số$y=f(x)$ thị tại 2 điểm phân biệt.

Câu 15. Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên sau

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là :
A. $0$.
B. $-1$ .
C. $5$.
D. $3$.

Lời giải câu 15

Từ bảng biến thiên ta có giá trị cực đại của hàm số đã cho là 5.

Câu 16. Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số trên có tiệm cận đứng là:
A. $y=-1$.
B. $y=1$.
C. $x=1$ .
D. $x=-1$.

Lời giải câu 16

Câu 17. Cho khối trụ có bán kính đáy $r=3$ và chiều cao $h=6.$ Thể tích $V$ của khối trụ đã cho bằng:
A. $V=55\pi $.
B. $V=18\pi $.
C. $V=36\pi $ .
D. $V=54\pi $.

Lời giải câu 17

Thể tích khối trụ đã cho bằng: $V=\pi{r^2}h=\pi{3^2}.6=54\pi $

Câu 18. Tập xác định của hàm số $y=\left(x-3\right)^{\dfrac{1}{3}}$ là:
A. $D=\left(3;+\infty\right)$.
B. $D=\mathbb{R}$.
C. $D=\mathbb{R}\setminus\left\{ 3\right\}$.
D. $D=\left[3;+\infty\right)$.

Lời giải câu 18

Hàm số xác định khi: $x-3>0\Leftrightarrow x>3.$
Vậy tập xác định là: $D=\left(3;+\infty\right).$

Câu 19. Tích phân $\displaystyle\int\limits_0^2x^2\text{d}x$ bằng.
A. $24$.
B. $\dfrac{8}{3}$.
C. $4$.
D. $\dfrac{2}{3}$.

Lời giải câu 19

Ta có: $\displaystyle\int\limits_0^2x^2\text{d}x=\left.\dfrac{x^3}{3}\right|_0^2=\dfrac{8}{3}$

Câu 20. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng hình cong như hình vẽ bên?

A. $y=-x^4+2x^2$ .
B. $y=x^4-2x^2+1$.
C. $y=-x^3+2x^2+1$ .
D. $y=-x^4+2x^2+1$.

Lời giải câu 20

Ta có: Nhánh cuối bên phải của ĐTHS hướng xuống nên $a< 0$ loại B.
ĐTHS đi qua điểm $\left(0;1\right)$ nên loại A.
Dạng ĐTHS bậc 4 nên chọn đáp án D.

Câu 21. Cho các số dương bất kỳ $a,b,c$ với $a\ne 1$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\log_ab+\log_ac=\log_a\left(bc\right)$.
B. $\log_ab+\log_ac=\log_a\left(b+c\right)$.
C. $\log_ab+\log_ac=\log_a\left| b-c\right|$.
D. $\log_ab+\log_ac=\log_a\left(b-c\right)$.

Lời giải câu 21

Câu 22. Cho hàm số $y=f(x),\,y=g(x)$ bất kỳ liên tục trên tập số thực $\mathbb{R}$ . Công thức nào sau đây sai?
A. $\displaystyle\int{f(x).g(x)\text{d}x}=\displaystyle\int{f(x)\text{d}x}.\displaystyle\int{g(x)\text{d}x}$ .
B. $\displaystyle\int{\left[f(x)+g(x)\right]\text{d}x}=\displaystyle\int{f(x)\text{d}x}+\displaystyle\int{g(x)\text{d}x}$.
C. $\displaystyle\int{\left[f(x)-g(x)\right]\text{d}x}=\displaystyle\int{f(x)\text{d}x}-\displaystyle\int{g(x)\text{d}x}$ .
D. $\displaystyle\int{kf(x).\text{d}x}=k\displaystyle\int{f(x)\text{d}x}$ ($k$ là hằng số khác $0$).

Lời giải câu 22

Ta có công thức sai: $\displaystyle\int{f(x).g(x)\text{d}x}=\displaystyle\int{f(x)\text{d}x}.\displaystyle\int{g(x)\text{d}x}$ .

Câu 23. Một cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có số hạng đầu $u_1=2$ và công sai $d=3.$ Số hạng thứ 3 của cấp số cộng đó bằng
A. $u_3=18$.
B. $u_3=10$.
C. $u_3=11$ .
D. $u_3=8$.

Lời giải câu 23

Ta có $u_n=u_1+\left(n-1\right)d\Rightarrow{u_3}=u_1+2d=2+2.3=8.$

Câu 24. Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'{B}'{C}'$ có $B{B}'=2a$ , đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ và $AC=a\sqrt{2}$ (tham khảo hình vẽ)

Thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho bằng
A. $V=a^3$.
B. $V=\dfrac{a^3}{6}$.
C. $V=\dfrac{a^3}{3}$.
D. $V=\dfrac{a^3}{2}$.

Lời giải câu 24

Ta có $A{B^2}+B{C^2}=A{C^2}\Rightarrow 2A{B^2}=2a^2\Rightarrow A{B^2}=a^2$ .
Vậy $V=\dfrac{1}{2}A{B^2}.B{B}'=\dfrac{1}{2}.a^2.2a=a^3$ .

Câu 25. Một lớp có $15$ học sinh nữ và $20$ học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên $4$ học sinh tham gia trực tuần cùng đoàn trường. Xác suất để trong bốn học sinh được ó số học sinh nam ít hơn số học sinh nữ là
A. $\dfrac{299}{1496}$.
B. $\dfrac{65}{374}$.
C. $\dfrac{855}{2618}$.
D. $\dfrac{415}{748}$.

Lời giải câu 25

Có $C_{35}^4=52360$ cách chọn ra bốn học sinh bất kì.
Chọn $4$ học sinh mà số học sinh nam ít hơn số học sinh nữ có các trường hợp
+Có $4$ học sinh nữ:$C_{15}^4$ cách chọn
+Có $3$ học sinh nữ và 1 học sinh nam:$C_{15}^3.C_{20}^1$
Vậy xác suất cần tìm là $P=\dfrac{C_{15}^4+C_{15}^3.C_{20}^1}{52360}=\dfrac{299}{1496}$ .

Câu 26. Cho số phức $z$ thỏa mãn $z\left(1+i\right)=3-5i$ . Khi đó môđun của$z$ bằng
A. $\left| z\right|=\sqrt{17}$.
B. $\left| z\right|=16$.
C. $\left| z\right|=17$.
D. $\left| z\right|=5$.

Lời giải câu 26

Có $z\left(1+i\right)=3-5i\Leftrightarrow z=\dfrac{3-5i}{1+i}=\dfrac{\left(3-5i\right)\left(1-i\right)}{2}=4-i$ .
Khi đó $\left| z\right|=\sqrt{4^2+1}=\sqrt{17}$ .

Câu 27. Trong không gian $Oxyz$ ,mặt phẳng $\left(\alpha\right)$ đi qua điểm $A\left(-1;5-2\right)$ và song song với mặt phẳng $\left(\beta\right):x-2y+3z-4=0$ có phương trình là
A. $x-2y+3z+10=0$ .
B. $x+2y+3z-3=0$ .
C. $x-2y+3z+17=0$ .
D. $x+2y-3z-15=0$.

Lời giải câu 27

Vì $\left(\alpha\right)$ song song với $\left(\beta\right):x-2y+3z-4=0$ nên$\left(\alpha\right)$ có dạng là $x-2y+3z+m=0\left(m\ne-4\right)$
Vì $\left(\alpha\right)$ đi qua điểm $A\left(-1;5-2\right)$ nên $-1-10-6+m=0\Leftrightarrow m=17$
Vậy $\left(\alpha\right):x-2y+3z+17=0$ .

Câu 28. Cho hình hộp chữ nhật $ABC\text{D}.A'{B}'{C}'\text{D'}$ có $AB=a;A\text{D}=2\text{a}$ (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $B\text{D{D}'}{B}'$ bằng

A. $\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
B. $a\sqrt{5}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$ .
D. $\dfrac{2\text{a}\sqrt{5}}{5}$.

Lời giải câu 28



Ta có $\left(ABC\text{D}\right)\perp\left(B\text{D{D}'}{B}'\right)$ , kẻ $AH\perp B\text{D}\Rightarrow AH\perp\perp\left(B\text{D{D}'}{B}'\right)\Rightarrow d\left(A,\left(B\text{D{D}'}{B}'\right)\right)=AH$ .
Dễ thấy $AH=\dfrac{A\text{D}.AB}{\sqrt{A{B^2}+A{\text{D}^2}}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$ .

Câu 29. Số nghiệm của phương trình $\log_3\left(x^2-6\right)-\log_3\left(x-2\right)=1$ .
A. 1.
B. 2.
C. $0$.
D. $3$.

Lời giải câu 29

Điều kiện $x>\sqrt{6}$ . Phương trình đưa về
$\begin{aligned} &{\log_3}\left(x^2-6\right)=\log_3\left(x-2\right)+1\Leftrightarrow{\log_3}\left(x^2-6\right)=\log_3\left(3x-6\right)\\ &\Rightarrow{x^2}-6=3\text{x}-6\Leftrightarrow x\left(x-3\right)=0\Rightarrow x\in\left\{ 0;3\right\}\\ \end{aligned}$
Kết hợp điều kiện thu được nghiệm duy nhất $x=3$ .

Câu 30. Cho hàm số $y=\dfrac{x-3}{x-1}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ .
B. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}\setminus\left\{ 1\right\}$.
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;1\right)$ và $\left(1;+\infty\right)$ .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;1\right)\bigcup\left(1;+\infty\right)$.

Lời giải câu 30

Ta có $y'=\dfrac{2}{\left(x-1\right)^2}>0,\forall x\ne 1$ nên hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;1\right)$ và $\left(1;+\infty\right)$ .

Câu 31. Trong không gian $Oxyz$ , đường thẳng $\Delta :\left\{\begin{aligned} & x=4+t\\ & y=t\\ & z=2+t\\ \end{aligned}\right.$ đi qua điểm $M\left(3;b;c\right)$ . Giá trị của $b+2c$ bằng
A. $2$.
B. $-1$.
C. $0$ .
D. $1$.

Lời giải câu 31

Ta có $M\left(3;b;c\right)\in\Delta\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} & 3=4+t\\ & b=t\\ & c=2+t\\ \end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} & t=-1\\ & b=-1\\ & c=1\\ \end{aligned}\right.\Rightarrow M\left(3;-1;1\right)\Rightarrow b+2c=1$ .

Câu 32. Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left(1;0;3\right)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left(\alpha\right):x-3y+2z+7=0$ . Bán kính của mặt cầu $(S)$ bằng
A. $R=\dfrac{7}{3}$ .
B. $R=\sqrt{14}$.
C. $R=1$.
D. $R=\dfrac{11}{\sqrt{14}}$.

Lời giải câu 32

Ta có, bán kính mặt cầu $R=d\left(I,\left(\alpha\right)\right)=\dfrac{\left| 1+2.3+7\right|}{\sqrt{1^2+(-3)^2+2^2}}=\sqrt{14}$ .

Câu 33. Trong không gian $Oxyz$ , đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left(1;-2;5\right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left(\alpha\right):4x-3y+2z+5=0$ có phương trình là
A. $\dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y+2}{-3}=\dfrac{z-5}{2}$.
B. $\dfrac{x-1}{-4}=\dfrac{y+2}{-3}=\dfrac{z-5}{2}$.
C. $\dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y-2}{-3}=\dfrac{z-5}{2}$.
D. $\dfrac{x-1}{-4}=\dfrac{y+2}{-3}=\dfrac{z-5}{-2}$.

Lời giải câu 33

Ta có $d\perp\left(\alpha\right)\Rightarrow \overrightarrow{u}_d=(4;-3;2)$.
Phương trình đường thẳng $d$ : $\dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y+2}{-3}=\dfrac{z-5}{2}$

Câu 34. Biết $\displaystyle\int\limits_0^2f\left(2x\right)\text{d}x=4$ , khi đó tích phân $\displaystyle\int\limits_0^4f(x)\text{d}x$ bằng

A. 8.
B. 4.
C. 16.
D. 2.

Lời giải câu 34

Đặt $u=2x\Rightarrow\text{d}u=2\text{d}x$
Đổi cận $x=0\Rightarrow u=0$
$x=2\Rightarrow u=4$
Khi đó $\displaystyle\int\limits_0^2f\left(2x\right)\text{d}x=\displaystyle\int\limits_0^4f(u)\dfrac{\text{d}u}{2}=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\limits_0^4f(x)\text{d}x$
$\Leftrightarrow 4=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\limits_0^4f(x)\text{d}x\Leftrightarrow\displaystyle\int\limits_0^4f(x)\text{d}x=8$ .

Câu 35. Cho hàm số $y=f(x$) có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left(x+1\right)$ khi $x\in\left[-3;1\right]$ là

A. 2.
B. $-2$.
C. $-1$.
D. 1.

Lời giải câu 35


Từ đồ thị hàm số $f(x)$ ta tịnh tiến đồ thị sang trái một đơn vị được đồ thị hàm số $y=f\left(x+1\right)$ . Suy ra $\underset{\left[-3;1\right]}{\min}\,f\left(x+1\right)=-2$ .

Câu 36. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a\sqrt{2}$ . Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left(SAD\right)$ bằng

A. $90^{\circ}$.
B. $60^{\circ}$.
C. $45^{\circ}$ .
D. $30^{\circ}$.

Lời giải câu 36



Ta có $\left\{\begin{aligned} & CD\perp AD\\ & CD\perp SA\\ & AD\cap SA=\left\{ A\right\}\\ \end{aligned}\right.\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)$
Do đó $\left(SC,\left(SAD\right)\right)=\left(SC,SD\right)=\widehat{CSD}$ (Vì tam giác $SCD$ vuông tại $D$)
Xét tam giác $SCD$ có $SD=\sqrt{S{A^2}+A{D^2}}=\sqrt{2a^2+a^2}=a\sqrt{3}$ , $CD=a$
$\Rightarrow\tan\widehat{CSD}=\dfrac{CD}{SD}=\dfrac{a}{a\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow\widehat{CSD}=30^{\circ}$ .

Câu 37. Tập nghiệm của bất phương trình $2^{2+x^2}>16$ là:
A. $\left(-\infty ;-2\right)\cup\left(2;+\infty\right)$ .
B. $\left(-\infty ;-\sqrt{2}\right)\cup\left(\sqrt{2};+\infty\right)$.
C. $\left(-\infty ;-2\right]\cup\left[2;+\infty\right)$ .
D. $\left(-\infty ;-\sqrt{2}\right]\cup\left[\sqrt{2};+\infty\right)$.

Lời giải câu 37

Ta có: $2^{2+x^2}>16\Leftrightarrow{2^{2+x^2}}>2^4\Leftrightarrow{x^2}+2>4\Leftrightarrow{x^2}>2\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} & x>\sqrt{2}\\ & x< -\sqrt{2}\\ \end{aligned}\right.$

Câu 38. Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S): $x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z+2=0$ có tọa độ tâm và bán kính là:
A. $I\left(-1;2;1\right),R=2$ .
B. $I\left(1;-2;-1\right),R=4$.
C. $I\left(1;-2;-1\right),R=2$ .
D. $I\left(-1;2;1\right),R=4$.

Lời giải câu 38

Phương trình mặt cầu dạng: $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ có tâm $I\left(a;b;c\right)$ và $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$ . Nên mặt cầu (S) có tâm $I\left(1;-2;-1\right)$ và $R=\sqrt{1^2+2^2+1^2-2}=2$ .

Câu 39. Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm đa thức bậc bốn. Đồ thị hàm $y=f'\left(x-1\right)$ được cho trong hình vẽ bên. Hàm số $g(x)=f\left(2x\right)+2x^2+2x$ có giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[-3;\dfrac{1}{2}\right]$ bằng

A. $f(2)+12$.
B. $f\left(-2\right)$ .
C. $f\left(-6\right)+12$.
D. $f(1)+\dfrac{3}{2}$.

Lời giải câu 39



Ta có $g'(x)=2f'\left(2x\right)+4x+2$
$g'(x)=0\Leftrightarrow 2f'\left(2x\right)+4x+2=0$ $\Leftrightarrow{f}'\left(2x\right)=-2x-1$
Đặt $t-1=2x$ , ta có phương trình $\Leftrightarrow{f}'\left(t-1\right)=-t$ $\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} & t=-2\\ & t=-1\\ & t=2\\ \end{aligned}\right.\Rightarrow\left[\begin{aligned} & x=-\dfrac{3}{2}\\ & x=-1\\ & x=\dfrac{1}{2}\\ \end{aligned}\right.$ .
Bảng biến thiên

Suy ra $\underset{\left[-3;\dfrac{1}{2}\right]}{\min}\,g(x)=\min\left\{ g\left(-3\right);g\left(-1\right)\right\}$ .
Ta có: $\displaystyle\int\limits_{-3}^{-2}{\left[f'\left(t-1\right)+t\right]\text{d}t}>\displaystyle\int\limits_{-2}^{-1}{\left[-t-f'\left(t-1\right)\right]\text{d}t}$
Đặt $t-1=2x\Rightarrow\text{d}t=2\text{d}x$ , ta có
$\displaystyle\int\limits_{-2}^{-\dfrac{3}{2}}{\left[f'\left(2x\right)+2x+1\right]\text{2d}x}>\displaystyle\int\limits_{-\dfrac{3}{2}}^{-1}{\left[-2x-1-f'\left(2x\right)\right]\text{2d}x}$
$\Leftrightarrow\displaystyle\int\limits_{-2}^{-\dfrac{3}{2}}{g'(x)\text{d}x}>-\displaystyle\int\limits_{-\dfrac{3}{2}}^{-1}{g'(x)\text{d}x}\Leftrightarrow\left. g(x)\right|_{-2}^{-\dfrac{3}{2}}>\left. g(x)\right|_{-1}^{-\dfrac{3}{2}}$
$\left. g(x)\right|_{-2}^{-\dfrac{3}{2}}>\left. g(x)\right|_{-1}^{-\dfrac{3}{2}}\Leftrightarrow g\left(-\dfrac{3}{2}\right)-g\left(-2\right)>g\left(-\dfrac{3}{2}\right)-g\left(-1\right)\Leftrightarrow g\left(-2\right)< g\left(-1\right)$ .
Dựa vào bảng biến thiên $g\left(-3\right)< g\left(-2\right)$ nên $g\left(-3\right)< g\left(-1\right)$ .
Vậy $\underset{\left[-3;\dfrac{1}{2}\right]}{\min}\,g(x)=g\left(-3\right)=f\left(-6\right)+12$ .

Câu 40. Cho các số thực dương $a,\,b$ thỏa mãn $\log_2\left(\dfrac{b}{2a+2}\right)=a-b$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=b+\dfrac{25}{a+2}$ là
A. $9$.
B. $10$.
C. $11$.
D. $8$.

Lời giải câu 40

Ta có $\log_2\left(\dfrac{b}{2a+2}\right)=a-b\Leftrightarrow\dfrac{b}{2a+2}=2^{a-b}\Leftrightarrow\dfrac{b}{2a+2}=\dfrac{2^a}{2^b}\Leftrightarrow b{2^b}=\left(a+1\right){2^{a+1}}\,(*)$ .
Xét hàm số $f(t)=t{2^t}$ trên khoảng $\left(0;\,+\infty\right)$ .
Ta có $f'(t)=2^t+t{2^t}.\ln 2>0,\,\forall t\in\left(0;\,+\infty\right)$ .
Suy ra hàm số $f(t)$ đồng biến trên khoảng $\left(0;\,+\infty\right)$ .
Do đó $(*)\Leftrightarrow b=a+1$ .
$P=b+\dfrac{25}{a+2}=a+1+\dfrac{25}{a+2}=\left(a+2\right)+\dfrac{25}{a+2}-1\ge 2\sqrt{\left(a+2\right).\dfrac{25}{a+2}}-1=9$ .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a+2=\dfrac{25}{a+2}\Leftrightarrow{\left(a+2\right)^2}=25\Leftrightarrow a+2=5\Leftrightarrow a=3\Rightarrow b=4$ .
Vậy $P_{\min}=9$ đạt được khi $\left\{\begin{aligned} & a=3\\ & b=4\\ \end{aligned}\right.$ .

Câu 41. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ . Hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ trùng với trung điểm của cạnh $AB$ . Góc giữa $SC$ và $\left(SAB\right)$ bằng $30^0$ .Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng
A. $\dfrac{a^3\sqrt{11}}{2}$.
B. $\dfrac{a^3\sqrt{11}}{4}$.
C. $\dfrac{a^3\sqrt{11}}{3}$ .
D. $\dfrac{a^3\sqrt{11}}{6}$.

Lời giải câu 41



Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ . Từ giả thiết suy ra $SH\perp\left(ABCD\right)$ .
Ta có : $\left.\begin{aligned} & CB\perp BA\\ & CB\perp SA\left(do\,\,SA\perp\left(ABCD\right)\right)\\ \end{aligned}\right\}\Rightarrow CB\perp\left(SAB\right)\Rightarrow SB$ là hình chiếu của $SC$ trên $\left(SAB\right)$ .
Suy ra $\widehat{\left(SC,\left(SAB\right)\right)}=\widehat{\left(SC,SB\right)}=\widehat{BSC}=30^0.$
Trong tam giác vuông $SBC$ có : $\tan{30^0}=\dfrac{BC}{SB}\Rightarrow SB=\dfrac{BC}{\tan{30^0}}=a\sqrt{3}.$
Trong tam giác vuông $SBH$ có : $SH=\sqrt{S{B^2}-B{H^2}}=\sqrt{\left(a\sqrt{3}\right)^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\dfrac{a\sqrt{11}}{2}.$
Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ : $V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}.S_{ABCD}.SH=\dfrac{1}{3}.a^2.\dfrac{a\sqrt{11}}{2}=\dfrac{a^3\sqrt{11}}{6}.$

Câu 42. Biết $\displaystyle\int\limits_1^e{\dfrac{\left(x+2\right)\ln x+3}{1+x\ln x}}\text{d}x=ae+b\ln\left(e+1\right)+c$ trong đó $a,b,c$ là các số nguyên. Tỉ số $\dfrac{a+b}{c}$ bằng
A. $-3$.
B. $3$.
C. $2$.
D. $\dfrac{1}{2}$.

Lời giải câu 42

Ta có: $\displaystyle\int\limits_1^e{\dfrac{\left(x+2\right)\ln x+3}{1+x\ln x}}\text{d}x=\displaystyle\int\limits_1^e{\dfrac{\left(1+x\ln x\right)+2\left(1+\ln x\right)}{1+x\ln x}}\text{d}x=\displaystyle\int\limits_1^e{1}\text{d}x+2\displaystyle\int\limits_1^e{\dfrac{1+\ln x}{1+x\ln x}}\text{d}x$
Đặt $t=1+x\ln x\Rightarrow\text{d}t=\left(\ln x+1\right)\text{d}x$ . Đổi cận: $x=1\to t=1$ , $x=e\to t=e+1$ .
$\displaystyle\int\limits_1^e{\dfrac{1+\ln x}{1+x\ln x}}\text{d}x=\displaystyle\int\limits_1^{e+1}{\dfrac{dt}{t}}=\ln\left| t\right|\left|_1^{e+1}\right.=\ln\left(e+1\right)$ .
Từ đó: $\displaystyle\int\limits_1^e{\dfrac{\left(x+2\right)\ln x+3}{1+x\ln x}}\text{d}x=e-1+2\ln\left(e+1\right)$ . Suy ra $a=1,b=2,c=-1\Rightarrow\dfrac{a+b}{c}=-3$ .

Câu 43. Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):\,2x-y+2z+3=0$ và đường thẳng $d:\,\,\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z+2}{-2}$ . Đường thẳng $\Delta $ nằm trong mặt phẳng $(P)$ đồng thời cắt và vuông góc với $d$ có phương trình là
A. $\dfrac{x+3}{4}=\dfrac{y-1}{6}=\dfrac{z-2}{-1}$.
B. $\dfrac{x+1}{4}=\dfrac{y+1}{6}=\dfrac{z+2}{-1}$.
C. $\dfrac{x}{3}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+1}{1}$ .
D. $\dfrac{x-1}{-4}=\dfrac{y+1}{-6}=\dfrac{z+3}{1}$.

Lời giải câu 43

Mặt phẳng $(P):\,2x-y+2z+3=0$ có VTPT $\overrightarrow{n}=\left(2;\,-1;\,2\right)$ .
Đường thẳng $d:\,\,\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z+2}{-2}$ có VTCP $\overrightarrow{u}=\left(1;\,-1;\,-2\right)$ .
Ta có $\overrightarrow{u_{\Delta}}=\left[\overrightarrow{n};\,\overrightarrow{u}\right]=\left(4;\,6;\,-1\right)=-1\left(-4;\,-6;\,1\right)$ .
Gọi $A$ là giao điểm của $d$ và $(P)$. Tọa độ điểm $A$ là nghiệm hệ $\left\{\begin{aligned} &\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z+2}{-2}\\ & 2x-y+2z+3=0\\ \end{aligned}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} & x=-3\\ & y=1\\ & z=2\\ \end{aligned}\right.\Rightarrow A\left(-3;\,1;\,2\right)$ .
Vậy đường thẳng $\Delta $ qua $A\left(-3;\,1;\,2\right)$ nhận VTCP $\overrightarrow{u_{\Delta}}=\left(4;\,6;\,-1\right)$ có phương trình là $\dfrac{x+3}{4}=\dfrac{y-1}{6}=\dfrac{z-2}{-1}$ .

Câu 44. Cho $z_1;z_2$ là hai số phức liên hợp của nhau thỏa mãn $\dfrac{z_1}{z_2}$ là số thực và $| z_1-z_2|=2\sqrt{6}$ . Mo đun của $z_1$ bằng
A. $\sqrt{10}$.
B. $\sqrt{6}$.
C. $2\sqrt{2}$.
D. $2$.

Lời giải câu 44

Giả sử $z_1^=x+yi;x,y\in\mathbb{R}$ khi đó $z_2=x-yi$
Ta có $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}=\dfrac{(x+y i)^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\dfrac{x^{2}-y^{2}+2 x y i}{x^{2}+y^{2}}$ là số thực nên $xy=0$
Mặt khác có $\left| z_1-z_2\right|=2\sqrt{6}\Leftrightarrow\left| 2yi\right|=2\sqrt{6}\Leftrightarrow\left| y\right|=\sqrt{6}$ . Suy ra $x=0$ .
Vậy $\left| z_1\right|=\sqrt{x^2+y^2}=\left| y\right|=\sqrt{6}$ .

Câu 45. Trong không gian, cắt vật thể $(T)$ bởi hai mặt phẳng $(P):x=-1$ và $(Q):x=2$ . Biết rằng một phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x\left(-1\le x\le 2\right)$ cắt $(T)$ theo thiết diện là hình vuông có cạnh bằng $3-x$ . Thể tích của vật thể $(T)$ giới hạn bởi hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ bằng

A. $21$ .
B. $21\pi $ .
C. $\dfrac{15}{2}$ .
D. $\dfrac{15\pi}{2}$.

Lời giải câu 45

Thể tích cần tìm là $V=\displaystyle\int\limits_{-1}^2\left(3-x\right)^2dx=21$ .

Câu 46. Cho hàm số đa thức $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left(\left| x+3\right|\left(x-1\right)\right)=\log m$ có sáu nghiệm phân biệt ?
A. $991$ .
B. $989$.
C. $988$ .
D. $990$.

Lời giải câu 46

Đặt $t=|x+3|(x-1),(1)$

Với mỗi giá trị của $t\in\left(-\infty ;-4\right)\cup\left(0;+\infty\right)$ thì phương trình $(1)$ có $1$ nghiệm $x$ .
Với mỗi giá trị của $t=-4\vee t=0$ thì phương trình $(1)$ có $2$ nghiệm $x$ .
Với mỗi giá trị của $t\in\left(-4;0\right)$ thì phương trình $(1)$ có $3$ nghiệm $x$ .
Dựa vào đổ thị bài toán ta có phương trình $f\left(\left| x+3\right|\left(x-1\right)\right)=\log m$ có sáu nghiệm phân biệt
khi và chỉ khi phương trình $f(t)=\log m$ xảy ra một trong hai trường hợp sau
Trường hợp 1: $1< \log m< 3\Leftrightarrow 10< m< 1000$ thì phương trình có $4$ nghiệm $t_1< -4< t_2< 0< t_3< 1< t_4$ .
Mà $m\in\mathbb{Z}$ nên suy ra $m\in\left\{ 11;12;...;999\right\}$ .
Trường hợp 2: $-4< \log m< 0\Leftrightarrow\dfrac{1}{10^4}< m< 1$ thì phương trình có $4$ nghiệm $t_1< -4< t_2< 0< t_3< 1< t_4$ .
Mà $m\in\mathbb{Z}$ nên suy ra $m\in\varnothing $ .
Suy ra có $989$ số nguyên thỏa bài toán

Câu 47. Gọi $S$ là tập hợp các số nguyên $m$ sao cho phương trình $\log_3\left(3^x+2m\right)=\log_5\left(3^x-m^2\right)$ có nghiệm. Hỏi $S$ có bao nhiêu phần tử:
A. $4$.
B. $2$ .
C. $3$.
D. $5$.

Lời giải câu 47

Đặt $t=\log_3\left(3^x+2m\right)=\log_5\left(3^x-m^2\right)\Rightarrow\left\{\begin{aligned} &{3^x}+2m=3^t\\ &{3^x}-m^2=5^t\\ \end{aligned}\right.\Rightarrow{m^2}+2m=3^t-5^t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*).$
Do đó điều kiện cần để phương trình đã cho có nghiệm là phương trình $(*)$ có nghiệm.
Xét hàm số $f(t)=3^t-5^t$ có $f'(t)=0\Leftrightarrow{3^t}\ln 3-5^t\ln 5=0$ .
$\Leftrightarrow{\left(\dfrac{3}{5}\right)^t}=\log_35\Rightarrow t=\log_{\dfrac{3}{5}}\left(\log_35\right).$
Hàm số $f(t)$ có bảng biến thiên như sau (với $a=\log_{\dfrac{3}{5}}\left(\log_35\right)$)

Do đó $(*)$ có nghiệm $\Leftrightarrow{m^2}+2m\le f(a)\Leftrightarrow-2,607\le m\le 0,067.$
Do $m$ nguyên nên $m\in\left\{-2;-1;0\right\}$ . Thử lại thì cả $3$ giá trị đều thoả mãn.
Vậy tập $S$ có $3$ phần tử.

Câu 48. Cho hàm số $f(x)=a{x^3}+b{x^2}+cx+4$ và $g(x)=m{x^2}+nx$ có đồ thị trong hình vẽ bên. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số trên (phần ghạch chéo trong hình) bằng:

A. $\dfrac{37}{6}$.
B. $\dfrac{8}{3}$.
C. $\dfrac{37}{12}$.
D. $\dfrac{4}{3}$.

Lời giải câu 48

Từ đồ thị$\Rightarrow $ $g(x)=m\left(x^2+2x\right)$
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: $a{x^3}+b{x^2}+cx+4=m\left(x^2+2x\right)$
$\Leftrightarrow $ $a{x^3}+\left(b-m\right){x^2}+\left(c-2m\right)x+4=0$ $(1)$
Do hai đồ thị cắt nhau tại các điểm có hoành độ $-2$ ; $-1$ ; $1$ nên $(1)$ $\Leftrightarrow $ $a\left(x+2\right)\left(x^2-1\right)=0$
$\Leftrightarrow $ $a{x^3}+2a{x^2}-ax-2a=0$
Do đó $\left\{\begin{aligned} & b-m=2a\\ & c-2m=-a\\ &-2a=4\\ \end{aligned}\right.$ $\Leftrightarrow $ $\left\{\begin{aligned} & a=-2\\ & b-m=-4\\ & c-2m=2\\ \end{aligned}\right.$
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số trên là:
$S=\displaystyle\int\limits_{-2}^1\left|-2\left(x+2\right)\left(x^2-1\right)\right|\text{d}x=2\displaystyle\int\limits_{-2}^{-1}{\left|x^3+2x^2-x-2\right|\text{d}x}+2\displaystyle\int\limits_{-1}^1\left|x^3+2x^2-x-2\right|\text{d}x$
$=2\left|\displaystyle\int\limits_{-2}^{-1}{\left(x^3+2x^2-x-2\right)\text{d}x}\right|+2\left|\displaystyle\int\limits_{-1}^1\left(x^3+2x^2-x-2\right)\text{d}x\right|$
$=2\left|\left(\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{2x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}-2x\right)\left|\begin{aligned} &-1\\ &-2\\ \end{aligned}\right.\right|+2\left|\left(\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{2x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}-2x\right)\left|\begin{aligned} & 1\\ &-1\\ \end{aligned}\right.\right|=\dfrac{37}{6}$ .

Câu 49. Cho hai số phức $z,\,\text{w}$ thỏa mãn $\left| z\right|=2,\,\left| w-3+2i\right|=1$ . Giá trị lớn nhất của $\left|z^2-2zw-4\right|$
bằng
A. $16\sqrt{2}$.
B. $18\sqrt{2}$.
C. $8$ .
D. $24$.

Lời giải câu 49

Đặt $z=x+yi$ với $x,y\in\mathbb{R}$ $\Rightarrow\dfrac{z-\overline{z}}{2}=yi$ .
Vì $\left| z\right|=2\Rightarrow{x^2}+y^2=4\Rightarrow y\in\left[-2;2\right]$ .
Đặt $T=\left|z^2-2zw-z.\overline{z}\right|=\left| z\right|.\left| z-2w-\overline{z}\right|=\left| 2z\right|.\left|\dfrac{z-\overline{z}}{2}-w\right|=4.\left|\dfrac{z-\overline{z}}{2}-w\right|$
$\Rightarrow\dfrac{T}{4}-1=\left|\dfrac{z-\overline{z}}{2}-w\right|-\left| w-3+2i\right|\le\left|\dfrac{z-\overline{z}}{2}-w+w-3+2i\right|=\left|\dfrac{z-\overline{z}}{2}-3+2i\right|$
$\Leftrightarrow\dfrac{T}{4}-1=\left|-3+\left(y+2\right)i\right|=\sqrt{9+\left(y+2\right)^2}\le 5$
$\Leftrightarrow T\le 24.$
Vậy giá trị lớn nhất của $\left|z^2-2zw-4\right|$ là $24$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} & z=2i\\ & w=\dfrac{18}{5}-\dfrac{14}{5}i\\ \end{aligned}\right.$

Câu 50. Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A\left(13;-7;-13\right),B\left(1;-1;5\right)$ và $C\left(1;1;-3\right).$ Xét các mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $C$ sao cho $A$ và $B$ nằm cùng phía so với mặt phẳng $(P).$ Khi $d(A,(P))+2d(B,(P))$ đạt giá trị lớn nhất thì phương trình của $(P)$ có dạng $ax+by+cz+3=0.$ Giá trị của $a+b+c$ bằng
A. $2$.
B. $4$.
C. $3$ .
D. $1$.

Lời giải câu 50

Gọi $B'$ là điểm đối xứng của $C$ qua $B,$ $I$ là trung điểm $AB'$ . Ta có: $B'(1;-3;13)$ , $d(B',(P))=2d(B,(P)),I(7;-5;0).$ Khi đó:
$d(A,(P))+2d(B,(P))=d(A,(P))+d(B',(P))=2d(I,(P))\le 2IC=18.$
Đẳng thức xảy ra xảy ra khi và chỉ $IC\perp (P)$ (hay $\overrightarrow{IC}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$).
Do đó: $d(A,(P))+2d(B,(P))$ có giá trị lớn nhất bằng $18$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{IC}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P).$

   Số câu đúng   

No comments:

Post a Comment