Đề thi thử THPT Quốc Gia 2021 - Chuyên Hà Tỉnh

Tải File Word Cực Đẹp

Tải File PDF Cực Đẹp

LUYỆN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA CHUYÊN HÀ TỈNH (ONLINE) LỜI GIẢI CHI TIẾT

Thời gian làm bài:

Câu 1. Đạo hàm của hàm số $y=x .3^{x}$ là
A. $y'=3^x\ln 3$ .
B. $y'=\left(1+x\ln 3\right){3^x}$.
C. $y'=\left(1+x\right){3^x}$.
D. $y'=3^x$.

Lời giải câu 1
$ y=x{3^x}$
$y'=3^x+x{3^x}\ln 3=3^x\left(1+x\ln 3\right)$.

Câu 2. Cho hàm số $ f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ bên. \includegraphics[scale=0.2]{"IMG_De_thi_thu_chuyen_ha_tinh_2021/img-1"} Hàm số đã cho đạt cực đại tại
A. $x=2$ .
B. $x=0$.
C. $x=1$.
D. $x=-1$.

Lời giải câu 2
Từ bảng biến thiên của hàm số ta thấy hàm số đạt cực đại tại $ x=0.$

Câu 3. Từ các chữ số $ 0;1;2;3;4;5$ lập được bao nhiêu số tự nhiên có $ 5$ chữ số phân biệt?
A. $720$.
B. $120$.
C. $96$ .
D. $600$.

Lời giải câu 3
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcde}$ với $ a,b,c,d,e\in\left\{ 0;1;2;3;4;5\right\};\,a\ne 0$.
Chọn số xếp vào vị trí $ a$: $ 5$ cách chọn.
Chọn số xếp vào vị trí $ b,c,d,e:$$ A_5^4$ cách chọn.
Khi đó thành lập được $ 5.A_5^4=600$ số.

Câu 4. Tích phân $\displaystyle\int\limits_{\sqrt{3}}^3x^2\text{d}x=a+b\sqrt{3},\left(a,b\in\mathbb{Z}\right)$. Khi đó $ a-2b$ bằng
A. $10$.
B. $7$.
C. $8$ .
D. $11$.

Lời giải câu 4
Ta có: $\displaystyle\int\limits_{\sqrt{3}}^3x^2\text{d}x=\left.\dfrac{x^3}{3}\right|_{\sqrt{3}}^3=9-\sqrt{3}$. Suy ra: $ a=9,b=-1$. Từ đó: $ a-2b=9-2\left(-1\right)=11$.

Câu 5. Tập xác định của hàm số $ y=\log_2\left(3-x\right)+\left(x-1\right)^{\pi}$ là
A. $\left(-\infty ;3\right)\setminus\left\{ 1\right\}$.
B. $\left(-\infty ;1\right)$.
C. $\left(3;+\infty\right)$ .
D. $\left(1;3\right)$.

Lời giải câu 5
Ta có: $ y$ xác định $\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} & 3-x>0\\ & x-1>0\\ \end{aligned}\right.\Leftrightarrow 1< x< 3$. Vậy tập xác định $ D=\left(1;3\right)$.

Câu 6. Cho hình lập phương $ ABCD.A\prime B\prime C\prime D\prime $ có đường chéo $ AC\prime=a\sqrt{3}$. Thể tích khối lập phương đó bằng
A. $a^3$.
B. $3\sqrt{3}{a^3}$.
C. $4a^3$.
D. $2a^3$.

Lời giải câu 6
Hình lập phương có cạnh $ a$ thì có độ dài đường chéo là $ a\sqrt{3}$.
Theo đề bài, $ AC\prime=a\sqrt{3}$ nên suy ra cạnh của hình lập phương $ ABCD.A\prime B\prime C\prime D\prime $ cũng là $ a$.
Vậy hình lập phương $ ABCD.A\prime B\prime C\prime D\prime $ có thể tích là $a^3$.

Câu 7. Cho số phức $ z=3-5i$. Phần ảo của $ z$là
A. $ i$.
B. $-5$.
C. $ 3$.
D. $ 5$.

Lời giải câu 7
Phần ảo của $ z=3-5i$ là $-5$.

Câu 8. Cho hàm số $ f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=x\left(x^2-x\right)\left(x-2\right)$. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. $ 2$.
B. $ 3$.
C. $ 4$.
D. $ 1$.

Lời giải câu 8
Ta có: $f'(x)=x\left(x^2-x\right)\left(x-2\right)=x^2\left(x-1\right)\left(x-2\right)$.
$f'(x)=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} & x=0\\ & x=1\\ & x=2\\ \end{aligned}\right.$; $f'(x)$ đổi dấu khi qua $ x=1,x=2$và không đổi dấu khi qua $ x=0$.
Vậy hàm số đã cho có $ 2$ điểm cực trị là $ x=1$ và $ x=2$.

Câu 9. Với $ a$ là số thực dương tùy ý, $4^{\log_2a}$ bằng
A. $\dfrac{a}{2}$.
B. $\sqrt{a}$.
C. $a^2$.
D. $2^a$.

Lời giải câu 9
Ta có: $4^{\log_2a}=2^{2.\log_2a}=\left(2^{\log_2a}\right)^2=a^2$.

Câu 10. Cho hàm số $ f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. \includegraphics[scale=0.2]{"IMG_De_thi_thu_chuyen_ha_tinh_2021/img-2"} Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left(1;2\right)$.
B. $\left(2;+\infty\right)$.
C. $\left(-2;2\right)$.
D. $\left(-\infty ;1\right)$.

Lời giải câu 10

Câu 11. Nếu $\displaystyle\int\limits_{-1}^3f(x)\text{d}x=-1$ và $\displaystyle\int\limits_{-1}^1f(x)\text{d}x=-2$ thì $\displaystyle\int\limits_1^32f(x)\text{d}x$ bằng
A. $-6$.
B. $-2$.
C. $ 2$.
D. $ 6$.

Lời giải câu 11
Ta có $\displaystyle\int\limits_1^32f(x)\text{d}x=2\displaystyle\int\limits_1^3f(x)\text{d}x=2\left[\displaystyle\int\limits_{-1}^3f(x)\text{d}x-\displaystyle\int\limits_{-1}^1f(x)\text{d}x\right]=2.\left[-1-\left(-2\right)\right]=2$.

Câu 12. Cho số phức $ z=2-3i$. Điểm $ M$ biểu diễn số phức $w=\left(1-2i\right)\overline{z}+3i$ có tọa độ là
A. $\left(8;2\right)$.
B. $\left(1;8\right)$.
C. $\left(8;-1\right)$.
D. $\left(2;8\right)$.

Lời giải câu 12
Ta có $w=\left(1-2i\right)\overline{z}+3i=w=\left(1-2i\right)\left(2+3i\right)+3i=2+3i-4i-6i^2+3i=8+2i$ .
Vậy điểm biểu diễn $ M\left(8;2\right)$.

Câu 13. Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình $2f(x)-5=0$ là \includegraphics[scale=0.2]{"IMG_De_thi_thu_chuyen_ha_tinh_2021/img-3"}
A. $ 2$.
B. $ 3$.
C. $ 0$.
D. $ 1$.

Lời giải câu 13
Số nghiệm của phương trình $2f(x)-5=0$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ với đường thẳng $y=\dfrac{5}{2}$ (song song hoặc trùng với $Ox$).
Quan sát đồ thị thấy $y_{CT}< \dfrac{5}{2}< y_C$ nên đồ thị $y=f(x)$ cắt $y=\dfrac{5}{2}$ tại 3 điểm phân biệt hay phương trình $2f(x)-5=0$ có 3 nghiệm.

Câu 14. Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\dfrac{1}{4}}\left(x-1\right)>-1$ là
A. $\left(\dfrac{5}{4};+\infty\right)$.
B. $\left(1;\dfrac{5}{4}\right)$.
C. $\left(-\infty ;\ 2\right)$.
D. $\left(1;\ 5\right)$.

Lời giải câu 14
TXĐ: $D=\left(1;+\infty\right)$
$\begin{aligned} &{\log_{\dfrac{1}{4}}}\left(x-1\right)>-1\\ &=>\ x\-\ 1\ < \left(\dfrac{1}{4}\right)^{-1}\Leftrightarrow\ x\-\ 1< 4\Leftrightarrow x< 5\\ \end{aligned}$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left(1;\ 5\right)$.

Câu 15. Cho số phức $z$ thỏa mãn $(1-3i)z+5=7i$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $\overline{z}=\dfrac{13}{5}+\dfrac{4}{5}i$.
B. $\overline{z}=\dfrac{13}{5}-\dfrac{4}{5}i$.
C. $\overline{z}=-\dfrac{13}{5}+\dfrac{4}{5}i$.
D. $\overline{z}=-\dfrac{13}{5}-\dfrac{4}{5}i$.

Lời giải câu 15
$(1-3i)z+5=7i\Leftrightarrow z=\dfrac{7i\-5}{1- 3i}=-\dfrac{13}{5}-\dfrac{4}{5}i$
Vậy $\overline{z}=-\dfrac{13}{5}+\dfrac{4}{5}i$.

Câu 16. Cho khối nón có bán kính đáy bằng $a$ và chiều cao bằng $a\sqrt{3}$ . Diện tích xung quanh của khối nón đã cho bằng
A. $\dfrac{\pi{a^2}}{2}$.
B. $4\pi{a^2}$.
C. $8\pi{a^2}$ .
D. $2\pi{a^2}$.

Lời giải câu 16
Ta có: $l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{a^2+3a^2}=2a.$
Diện tích xung quanh của khối nón là $S_{xq}=\pi rl=\pi .a.2a=2\pi{a^2}.$

Câu 17. Cấp số cộng có số hạng đầu bằng 2, công sai bằng 4. Số hạng thứ 3 của cấp số cộng đó bằng
A. $10$.
B. $12$.
C. $6$.
D. $8$.

Lời giải câu 17
Số hạng thứ 3 của cấp số cộng trên là: $u_3=u_1+2d=2+2.4=10.$

Câu 18. Cho hình bát diện đều cạnh $ a$ (tham khảo hình vẽ bên). Thể tích khối bát diện đều này là \includegraphics[scale=0.2]{"IMG_De_thi_thu_chuyen_ha_tinh_2021/img-4"}
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}{a^3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}{a^3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{4}{a^3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}{a^3}$.

Lời giải câu 18
\includegraphics[scale=0.2]{"IMG_De_thi_thu_chuyen_ha_tinh_2021/img-5"} Vì $ ABCD$ là hình vuông nên $ OA=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}\sqrt{A{B^2}+B{C^2}}=\dfrac{1}{2}a\sqrt{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
$\Delta SOA$ vuông tại $ O$: $ SO=\sqrt{S{A^2}-O{A^2}}=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
$V_{SABCD{S}'}=2V_{SABCD}=2\dfrac{1}{3}.SO.A{B^2}=2.\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.a^2=\dfrac{a^3\sqrt{2}}{3}$.

Câu 19. Cho hàm số $ f(x)=\sin x+2021$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x}=-\cos x+2021x+C$.
B. $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x}=\cos x+2021x+C$.
C. $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x}=\cos x+C$.
D. $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x}=-\cos x+C$.

Lời giải câu 19
Ta có:$\displaystyle\int{f(x)\text{d}x}=\displaystyle\int{\left(\sin x+2021\right)\text{d}x}$$=-\cos x+2021x+C$.

Câu 20. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $ y=\dfrac{2x+1}{x-1}$ là đường thẳng
A. $ y=1$.
B. $ x=2$.
C. $ x=1$.
D. $ x=-2$.

Lời giải câu 20
Ta có: $\underset{x\to{1^-}}{\lim}\,y$$=\underset{x\to{1^-}}{\lim}\,\dfrac{2x+1}{x-1}=-\infty $; $\underset{x\to{1^+}}{\lim}\,y$$=\underset{x\to{1^+}}{\lim}\,\dfrac{2x+1}{x-1}=+\infty $.
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $ x=1$.

Câu 21. Thể tích của khối cầu có đường kính bằng $ 2a$ là
A. $\dfrac{8}{3}\pi{a^3}$.
B. $ 4\pi{a^3}$.
C. $\dfrac{4}{3}\pi{a^3}$.
D. $ 2\pi{a^3}$.

Lời giải câu 21
Bán kính mặt cầu: $ r=a$.
Thể tích khối cầu: $ V=\dfrac{4}{3}\pi{r^3}$$=\dfrac{4}{3}\pi{a^3}$.

Câu 22. Hàm số $ y=\ln\left(4-x^2\right)$ đồng biến trên khoảng
A. $\left(-2;2\right)$.
B. $\left(-\infty ;2\right)$.
C. $\left(0;2\right)$.
D. $\left(-2;0\right)$.

Lời giải câu 22
Ta có $ y=\ln\left(4-x^2\right)$ xác định với $\forall x\in\left(-2;2\right)$
có $y'=\dfrac{-2x}{4-x^2},y'>0\Leftrightarrow-2< x< 0$

Câu 23. Cho hàm số $f(x)=e^{-3x+1}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x=-3e^{-3x+1}+C}$.
B. $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x=e^{-3x+1}+C}$.
C. $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x=-\dfrac{1}{3}{e^{-3x+1}}+C}$.
D. $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x=\dfrac{1}{3}{e^{-3x+1}}+C}$.

Lời giải câu 23
Ta có $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x=\displaystyle\int{e^{-3x+1}}\text{d}x}=\dfrac{-1}{3}{e^{-3x+1}}+C$.

Câu 24. Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong bên? \includegraphics[scale=0.2]{"IMG_De_thi_thu_chuyen_ha_tinh_2021/img-6"}
A. $ y=-x^3+3x^2$.
B. $ y=x^4-3x^2$.
C. $ y=x^3-3x^2$.
D. $ y=-x^4+3x^2$.

Lời giải câu 24
Đồ thị hàm số đã cho là đồ thị hàm bậc bốn dạng $ y=a{x^4}+b{x^2}+c$ với hệ số $ a>0$ nên chọn phương án

Câu 25. Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $ A\left(1;1;2\right)$, $ B\left(3;1;0\right)$, $ C\left(-1;1;1\right)$. Trọng tâm của tam giác $ ABC$ có tọa độ là
A. $\left(2;1;1\right)$.
B. $\left(3;3;3\right)$.
C. $\left(1;1;1\right)$.
D. $\left(6;2;2\right)$.

Lời giải câu 25
Gọi $ G$là trọng tâm $\Delta ABC$, ta có:
$\left\{\begin{aligned} &{x_G}=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}=\dfrac{1+3-1}{3}=1\\ &{y_G}=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}=\dfrac{1+1+1}{3}=1\\ &{z_G}=\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3}=\dfrac{2+0+1}{3}=1\\ \end{aligned}\right.$.
$\Rightarrow G\left(1;1;1\right)$ .

Câu 26. Cho đồ thị hàm số $ y=a{x^4}+b{x^2}+c$ có điểm cực đại $ A\left(0;-3\right)$ và điểm cực tiểu $ B\left(-1;-5\right)$. Tính giá trị của $ P=a+2b+3c$.
A. $ P=3$.
B. $ P=-5$.
C. $ P=-9$.
D. $ P=-15$.

Lời giải câu 26
Ta có: $ y=a{x^4}+b{x^2}+c\Rightarrow y'=4a{x^3}+2bx=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} & x=0\\ &{x^2}=-\dfrac{b}{2a}\\ \end{aligned}\right.$.
Vì đồ thị hàm số có điểm cực đại $ A\left(0;-3\right)$ nên $ y=a.0+b.0+c=-3\Rightarrow c=-3$.
Vì đồ thị hàm số có điểm cực tiểu $ B\left(-1;-5\right)$ nên ta suy ra:
$\left\{\begin{aligned} &{x^2}=-\dfrac{b}{2a}=\left(-1\right)^2\\ &-5=a.\left(-1\right)^4+b.\left(-1\right)^2-3\\ \end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned} & b=-2\text{a}\\ & a+b=-2\\ \end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned} & a=2\\ & b=-4\\ \end{aligned}\right.$.
$\Rightarrow P=a+2b+3c=2+2.\left(-4\right)+3.\left(-3\right)=-15$.

Câu 27. Trong không gian $Oxyz$ , đường thẳng đi qua hai điểm $ A\left(3;1;0\right)$ và $ B\left(-1;1;1\right)$ có phương trình là
A. $\left\{\begin{aligned} & x=7-4t\\ & y=1\\ & z=-1+t\\ \end{aligned}\right.$.
B. $\left\{\begin{aligned} & x=-1+4t\\ & y=1\\ & z=1+t\\ \end{aligned}\right.$.
C. $\left\{\begin{aligned} & x=3-4t\\ & y=t\\ & z=1+t\\ \end{aligned}\right.$.
D. $\left\{\begin{aligned} & x=3-4t\\ & y=1+t\\ & z=t\\ \end{aligned}\right.$.

Lời giải câu 27
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $ A\left(3;1;0\right)$ và $ B\left(-1;1;1\right)$ nhận $\overrightarrow{AB}=\left(-4;0;1\right)$làm vectơ chỉ phương có dạng:
$\left\{\begin{aligned} &{x_A}=x_O-4t\\ &{y_A}=y_O\\ &{z_A}=z_O+t\\ \end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} & 3=x_O-4t\\ & 1=y_O\\ & 0=z_O+t\\ \end{aligned}\right.\left(t\in\mathbb{R}\right)$.
Chọn $ t=1\Rightarrow\left\{\begin{aligned} &{x_O}=7\\ &{y_O}=1\\ &{z_O}=-1\\ \end{aligned}\right.$.
Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $ A,B$ là:
$\left\{\begin{aligned} & x=7-4t\\ & y=1\\ & z=-1+t\\ \end{aligned}\right.$.

Câu 28. Một học sinh tô ngẫu nhiên $5$ câu trắc nghiệm (mỗi câu có $4$ phương án lựa chọn, trong đó chỉ có $1$ phương án trả lời đúng). Xác suất để học sinh đó tô sai cả $5$ câu bằng
A. $\dfrac{15}{1024}$.
B. $\dfrac{3}{4}$.
C. $\dfrac{243}{1024}$.
D. $\dfrac{1}{1024}$.

Lời giải câu 28
Ta có xác suất để tô một câu đúng là $\dfrac{1}{4}$ và xác suất để tô một câu sai là $\dfrac{3}{4}$ .
Vậy xác suất để học sinh đó tô sai cả $5$ câu là $C_5^5\left(\dfrac{3}{4}\right)^5=\dfrac{243}{1024}$ .

Câu 29. Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A\left(1;1;2\right)$ và $B\left(3;1;0\right)$ . Mặt cầu đường kính $AB$ có phương trình là
A. $\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=8$.
B. $\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=2$.
C. $\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-2\right)^2=8$.
D. $\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2+z^2=2$.

Lời giải câu 29
Gọi $I,R$ lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu có đường kính $AB$ , khi đó $I\left(2;1;1\right)$ và $R=\dfrac{1}{2}AB=\sqrt{2}$ . Vậy phương trình mặt cầu đường kính $AB$ : $\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=2$.

Câu 30. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$ , cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA=a\sqrt{2},\,AD=2AB=2BC=2a$ . Côsin góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left(SAD\right)$ và $\left(SCD\right)$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
D. $\dfrac{1}{2}$.

Lời giải câu 30
\includegraphics[scale=0.2]{"IMG_De_thi_thu_chuyen_ha_tinh_2021/img-7"} Do $AD=2AB=2BC=2a\Rightarrow AD=2a,\,AB=BC=a$ .
Gọi $K,\,I$ lần lượt là hình chiếu của $C$ lên $AD$ và $SD$ ; $\alpha=\widehat{\left(\left(SAD\right),\left(SCD\right)\right)}$ .
Khi đó $CK\perp\left(SAD\right)\Rightarrow d\left(C,\left(SAD\right)\right)=CK=a$ . Vậy $\sin\alpha=\dfrac{d\left(C,\left(SAD\right)\right)}{d\left(C,SD\right)}=\dfrac{CK}{CI}\,(*)$ .
Ta có $CK=\dfrac{1}{2}AD\Rightarrow CD\perp AC\Rightarrow CD\perp\left(SAC\right)\Rightarrow CD\perp SC$ .
Mặt khác: $S{C^2}=S{A^2}+A{C^2}=4a^2;\,C{D^2}=C{K^2}+K{D^2}=2a^2$ .
Trong tam giác vuông $SCD$ ta có $\dfrac{1}{C{I^2}}=\dfrac{1}{C{D^2}}+\dfrac{1}{S{C^2}}=\dfrac{1}{2a^2}+\dfrac{1}{4a^2}=\dfrac{3}{4a^2}\Rightarrow CI=\dfrac{2a}{\sqrt{3}}$ .
Từ (*) ta có $\sin\alpha=\dfrac{a}{\dfrac{2a}{\sqrt{3}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\cos\alpha=\dfrac{1}{2}$ .

Câu 31. Nếu $\displaystyle\int\limits_3^52f(x)\text{d}x\,=3$ thì $\displaystyle\int\limits_1^2f\left(2x+1\right)\text{d}x$ bằng
A. $\dfrac{3}{2}$.
B. $ 3$.
C. $ 6$.
D. $\dfrac{3}{4}$.

Lời giải câu 31
$ I=\displaystyle\int\limits_1^2f\left(2x+1\right)\,\text{d}x$
Đặt $ t=2x+1\Rightarrow\text{d}t=2\text{d}x$.
Với $ x=1\Rightarrow t=3;\,$Với $ x=2\Rightarrow t=5$
Vậy $I=\displaystyle\int\limits_3^5f(t)\,.\dfrac{1}{2}\text{d}t=\dfrac{1}{4}\displaystyle\int\limits_3^52f(t)\,\text{d}t=\dfrac{1}{4}\displaystyle\int\limits_3^52f(x)\,\text{d}x=\dfrac{3}{4}.$

Câu 32. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $ M\left(-1;2;1\right)$ và $ N\left(3;0;-1\right)$. Mặt phẳng trung trực của MN có phương trình là.
A. $ 4x-2y-2z+1=0$.
B. $-2x+y+z+1=0$.
C. $ x+y-2=0$.
D. $-2x+y+z+7=0$.

Lời giải câu 32
Tọa độ trung điểm $ I$ của đoạn $ MN$ là $ I\left(1;1;0\right)$
Mặt phẳng trung trực của MN đi qua $ I$ và nhận $\overrightarrow{MN}=\left(4;-2;-2\right)$ làm VTPT nên có phương trình $ 4(x-1)-2\left(y-1\right)-2z=0\Leftrightarrow 4x-2y-2z-2=0\Leftrightarrow-2x+y+z+1=0$

Câu 33. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $ m$ để phương trình $2^{x^2+1}-2m^2=0$ có nghiệm.
A. $\left[\begin{array}{*{35}{l}} m\ge 1
m\le-1
\end{array}\right.$.
B. $ m>0$.
C. $-1\le m\le 1$.
D. $ m\ne 0$.

Lời giải câu 33
Ta có $2^{x^2+1}-2m^2=0\Leftrightarrow{2^{x^2+1}}=2m^2$
Vì $x^2\ge 0\Leftrightarrow{x^2}+1\ge 1\Leftrightarrow{2^{x^2+1}}\ge 2$ nên $ 2m^2\ge 2\Leftrightarrow{m^2}\ge 1\Leftrightarrow\left[\begin{array}{*{35}{l}} m\ge 1
m\le-1
\end{array}\right.$

Câu 34. Cho hàm số $ y=\dfrac{\left(m^2-m\right)}{3}{x^3}+\left(m^2-m\right){x^2}+mx+2$, với $ m$ là tham số. Có bao nhiêu số nguyên $ m$ để hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$?
A. $ 3$.
B. $ 5$.
C. $ 1$.
D. $ 2$.

Lời giải câu 34
Tập xác định: $ D=\mathbb{R}$
Ta có $y'=\left(m^2-m\right){x^2}+2\left(m^2-m\right)x+m$
TH1: $m^2-m=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} & m=0\\ & m=1\\ \end{aligned}\right.$
+ Nếu $ m=0$ thì $y'=0,$ với mọi $ x\in\mathbb{R}$ (loại).
+ Nếu $ m=1$ thì $y'=1>0,$với mọi $ x\in\mathbb{R}$ (thỏa mãn).
TH2: $ m\ne 0;\,m\ne 1$
Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow{y}'\ge 0,\,$với mọi $ x\in\mathbb{R}$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} &{\left(m^2-m\right)^2}-m\left(m^2-m\right)\le 0\\ &{m^2}-m>0\\ \end{aligned}\right.$$\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} &\left(m^2-m\right).\left(m^2-2m\right)\le 0\\ &{m^2}-m>0\\ \end{aligned}\right.\Rightarrow 0< m\le 2$
Vì $ m\in\mathbb{Z}$ và $ m\ne 1$ $\Rightarrow m=2$(thỏa mãn).
Vậy có 2 số nguyên $ m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 35. Trong không gian $ Oxyz,$đường thẳng nào dưới đây đi qua điểm $ M\left(1;-2;1\right)$?
A. $d_1:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z+1}{3}$.
B. $d_3:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{-3}=\dfrac{z-1}{1}$.
C. $d_4:\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-1}{3}$.
D. $d_1:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{3}=\dfrac{z+1}{-1}$.

Lời giải câu 35
Lần lượt thay $ x=1,\,y=-2,\,z=1$ vào phương trình của $d_1,\,d_2,\,d_3,\,d_4$ để kiểm tra
$\Rightarrow M\in{d_3}$.

Câu 36. Trong không gian $ Oxyz,$ mặt cầu $(S):{x^2}+\left(y-1\right)^2+\left(z+2\right)^2=4$ có tọa độ tâm $ I$ là
A. $ I\left(0;1;-2\right)$.
B. $ I\left(0;1;2\right)$.
C. $ I\left(0;-1;2\right)$.
D. $ I\left(1;1;-2\right)$.

Lời giải câu 36
Mặt cầu $(S)$ có tâm $ I\left(0;1;-2\right)$.

Câu 37. Cho lăng trụ $ ABC.A'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác đều cạnh $ a$, góc giữa $ 2$ mặt phẳng $\left(A'{B}'{C}'\right)$ và $\left(BC{C}'{B}'\right)$ bằng $ 60^\circ $, hình chiếu của $B'$ lên mặt phẳng $\left(ABC\right)$ trùng với trọng tâm tam giác $ ABC$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $ A{A}'$ và $B'C$ bằng
A. $\dfrac{3a}{4}$.
B. $\dfrac{a}{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
D. $\dfrac{a}{4}$.

Lời giải câu 37
\includegraphics[scale=0.2]{"IMG_De_thi_thu_chuyen_ha_tinh_2021/img-8"} Ta có: $\left(ABC\right)\,//\,\left(A'{B}'{C}'\right)$$\Rightarrow\widehat{\left(\left(A'{B}'{C}'\right);\,\left(BC{C}'{B}'\right)\right)}$$=\widehat{\left(\left(ABC\right);\left(BC{C}'{B}'\right)\right)}$$=60^\circ $.
Gọi $ G$ là trọng tâm tam giác $ ABC$, theo bài ra ta có: $B'G\perp\left(ABC\right)$.
Kẻ $ AG$cắt $ BC$ tại $ M$$\Rightarrow AM\perp BC$.
Ta có: $\left\{\begin{aligned} & GM\perp BC\\ &{B}'G\perp BC\\ \end{aligned}\right.$$\Rightarrow BC\perp\left(B'GM\right)$$\Rightarrow BC\bot{B}'M$$\Rightarrow\widehat{\left(\left(ABC\right);\left(BC{C}'{B}'\right)\right)}$$=\widehat{B'MG}=60^\circ $.
$\left\{\begin{aligned} & A{A}'\,//B{B}'\\ & B{B}'\subset\left(BC{C}'{B}'\right)\\ \end{aligned}\right.$$\Rightarrow d\left(A{A}';\,B'C\right)=d\left(A{A}';\,\left(BC{C}'{B}'\right)\right)$$=d\left(A;\,\left(BC{C}'{B}'\right)\right)$.
Ta có: $\dfrac{d\left(A;\left(BC{C}'{B}'\right)\right)}{d\left(G;\,\left(BC{C}'{B}'\right)\right)}=\dfrac{AM}{GM}=3$$\Rightarrow d\left(A;\,\left(BC{C}'{B}'\right)\right)=3d\left(G;\,\left(BC{C}'{B}'\right)\right)$.
Kẻ $ GK\bot{B}'M,\,\left(K\in{B}'M\right)$$\Rightarrow GK\perp\left(BC{C}'{B}'\right)$$\Rightarrow d\left(G;\,\left(BC{C}'{B}'\right)\right)=GK$.
Xét tam giác $ GKM$ vuông tại $ K$ ta có: $ GK=GM.\sin 60^\circ $$=\dfrac{1}{3}\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a}{4}$.
$\Rightarrow d\left(A;\,\left(BC{C}'{B}'\right)\right)=\dfrac{3a}{4}$.

Câu 38. Cho hai số phức $z_1,z_2$ là các nghiệm của phương trình $z^2+4z+13=0$. Khi đó mô đun của số phức $w=\left(z_1+z_2\right)i+z_1z_2$ bằng
A. $ 13\sqrt{5}$.
B. $\sqrt{195}$.
C. $\sqrt{185}$.
D. $ 13$.

Lời giải câu 38
$z^2+4z+13=0$
Theo định lý Vi ét ta có $\left\{\begin{aligned} &{z_1}+z_2=-4\\ &{z_1}.z_2=13\\ \end{aligned}\right.(1)$
Thay $(1)$ vào $w=\left(z_1+z_2\right)i+z_1z_2$ ta có $w=-4i+13\Rightarrow\left| w\right|=\sqrt{\left(-4\right)^2+13^2}=\sqrt{185}$ .

Câu 39. Một gia đình muốn làm cánh cổng (như hình vẽ). Phần phía trên cổng có hình dạng là một parabol với $ IH=2,5m$, phần phía dưới là một hình chữ nhật với kích thước cạnh $ A\text{D}=4m,AB=6m$. Giả sử giá để làm phần cổng để tô màu là $ 1.000.000$đ/m2 và giá để làm phần cổng phía trên là $ 1.200.000$ đ/m2. Số tiền gia đình đó phải trả là \includegraphics[scale=0.2]{"IMG_De_thi_thu_chuyen_ha_tinh_2021/img-9"}
A. $ 24.400.000$ đ.
B. $ 36.000.000$đ.
C. $ 38.000.000$ đ.
D. $ 38.800.000$ đ.

Lời giải câu 39
\includegraphics[scale=0.2]{"IMG_De_thi_thu_chuyen_ha_tinh_2021/img-10"} Dựng hệ trục tọa độ $ Oxy$ như hình vẽ. Khi đó Parabol $ y=a{x^2}+bx+c$ có đỉnh $ I\left(0;\dfrac{5}{2}\right)$, cắt trục $Ox$ tại $ A\left(-3;0\right);B\left(3;0\right)$ nên Parabol là: $ y=\dfrac{-5}{18}{x^2}+\dfrac{5}{2}$.
Khi đó phần cổng phía trên có diện tích là: $ S_1^=\displaystyle\int\limits_{-3}^3\left(\dfrac{-5}{18}{x^2}+\dfrac{5}{2}\right)\text{d}x=10m^2$.
Diện tích của phần cổng hình chữ nhật phía dưới là: $ S_2^=4.6=24m^2$.
Vậy tổng chi phí gia đình đó phải trả để làm cổng là:
$ 1.200.000\times 10+1.000.000\times 24=36.000.000$ đ.

Câu 40. Có bao nhiêu giá trị của tham số $ m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y=\dfrac{x-m^2-2}{x-m}$ trên đoạn $\left[0;4\right]$ bằng $\dfrac{1}{2}$.
A. $ 0$.
B. $ 2$.
C. $ 3$.
D. $ 1$.

Lời giải câu 40
$y=\dfrac{x-m^{2}-2}{x-m}$ có $T X D: D=\mathbb{R} \backslash\{m\}$ và $y^{\prime}=\dfrac{m^{2}-m+2}{(x-m)^{2}}>0, \forall \mathrm{x} \in D$ nên hàm số đồng biến trên từng khoảng của tâp xác đinh.
Để giá trị lớn nhất của hàm số trên $\left[0;4\right]$ bằng $\dfrac{1}{2}$ thì: $\left\{\begin{aligned} & y(4)=\dfrac{1}{2}\\ & m\notin\left(0;4\right]\\ \end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} &\dfrac{2-m^2}{4-m}=\dfrac{1}{2}\\ & m\notin\left(0;4\right]\\ \end{aligned}\right.\Leftrightarrow m=0$ .

Câu 41. Cho hàm số $ f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $ f(2)=3$, $\displaystyle\int\limits_1^4\dfrac{f\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}\text{d}x=2$, $\displaystyle\int\limits_0^2x{f}'(x)\text{d}x=3$. Tính $ I=\displaystyle\int\limits_0^1f(x)\text{d}x$
A. $ 5$.
B. $ 1$.
C. $ 2$.
D. $ 3$.

Lời giải câu 41
Xét tích phân: $ 2=\displaystyle\int\limits_1^4\dfrac{f\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}\text{d}x=2\displaystyle\int\limits_1^4f\left(\sqrt{x}\right).\dfrac{\text{d}x}{2\sqrt{x}}=2\displaystyle\int\limits_1^4f\left(\sqrt{x}\right).d\left(\sqrt{x}\right)=2\displaystyle\int\limits_1^2f(t).\text{d}t\Rightarrow\displaystyle\int\limits_1^2f(t).\text{d}t=1$
Hay $\displaystyle\int\limits_1^2f(x).\text{d}x=1$.
Xét tích phân: $\displaystyle\int\limits_0^2x{f}'(x)\text{d}x=3$. Đặt $\left\{\begin{aligned} & u=x\\ & dv=f'(x)\text{d}x\\ \end{aligned}\right.$ chọn $\left\{\begin{aligned} &\text{d}u=\text{d}x\\ & v=f(x)\\ \end{aligned}\right.$,khi đó:
$ 3=\displaystyle\int\limits_0^2x{f}'(x)\text{d}x=xf(x)\left|\begin{aligned} & 2\\ & 0\\ \end{aligned}\right.-\displaystyle\int\limits_0^2f(x)\text{d}x=2f(2)-\displaystyle\int\limits_0^2f(x)\text{d}x=6-\displaystyle\int\limits_0^2f(x)\text{d}x\Rightarrow\displaystyle\int\limits_0^2f(x)\text{d}x=3$.
Ta có: $ I=\displaystyle\int\limits_0^1f(x)\text{d}x=\displaystyle\int\limits_0^2f(x)\text{d}x-\displaystyle\int\limits_1^2f(x)\text{d}x=3-1=2$.

Câu 42. Cho Số phức $ z=x+yi\,\,\left(x,y\in\mathbb{R}\right)$ thỏa mãn $ z+2+i=\left| z\right|\left(1+i\right)$ và $\left| z\right|>3$. Giá trị của biểu thức $ S=2x-3y$ là
A. $-6$.
B. $-3$.
C. $ 6$.
D. $ 3$.

Lời giải câu 42
Ta có: $ z+2+i=\left| z\right|\left(1+i\right)\Leftrightarrow z=\left(\left| z\right|-2\right)+\left(\left| z\right|-1\right)i\,\,\,\,\,\,\,(*)$
Môđun hai vế của $(*)$ ta được:
$\left| z\right|=\sqrt{\left(\left| z\right|-2\right)^2+\left(\left| z\right|-1\right)^2}\Leftrightarrow{\left| z\right|^2}=\left(\left| z\right|-2\right)^2+\left(\left| z\right|-1\right)^2\Leftrightarrow{\left| z\right|^2}-6\left| z\right|+5=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} &\left| z\right|=1\,\,(L)\\ &\left| z\right|=5\,\,(N)\\ \end{aligned}\right.$
Thay $\left| z\right|=5$ vào $(*)$ ta được: $ z=3+4i\Rightarrow x=3;\,\,y=4$
Vậy $ S=2x-3y=2.3-3.4=-6$.

Câu 43. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt đáy, $SA=2BC=2a\sqrt{3},AC=a$ và $BAC=120^\circ .$ Hình chiếu vuông góc của $A$ lên các cạnh $SB$ và $SC$ lần lượt là $M$ và $N$ . Thể tích của khối đa diện $AMNCB$ bằng
A. $\dfrac{24}{169}{a^3}$ .
B. $\dfrac{25}{338}{a^3}$.
C. $\dfrac{25}{169}{a^3}$.
D. $\dfrac{12}{169}{a^3}$.

Lời giải câu 43
\includegraphics[scale=0.2]{"IMG_De_thi_thu_chuyen_ha_tinh_2021/img-11"} Đặt $AB=x.$ Tam giác $ABC$ có:
$\begin{aligned} & B{C^2}=A{C^2}+A{B^2}-2AB.AC.\text{cos 120}^\circ\\ &\Rightarrow 3a^2=a^2+x^2-2ax.\dfrac{1}{2}\\ &\Rightarrow{x^2}+ax-2a^2=0\\ &\Rightarrow x=a\\ \end{aligned}$
Diện tích tam giác $ABC$ : $S=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin 120^\circ=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}.$
Thể tích khối chóp $S.ABC$ : $V=\dfrac{1}{3}.2a\sqrt{3}.\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a^3}{2}.$
Tam giác $SAB$ có: $S{B^2}=S{A^2}+A{B^2}=13a^2$ $\Rightarrow\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{S{A^2}}{S{B^2}}=\dfrac{12}{13}.$
Do $SAB=SAC$ nên $\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{12}{13}.$ $\Rightarrow\dfrac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}}=\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{144}{169}.$
Vậy, thể tích khối đa diện $AMNCB$ là:
$V_{AMNCB}=V_{S.ABC}-V_{S.AMN}=V_{S.ABC}\left(1-\dfrac{144}{169}\right)=\dfrac{25a^3}{338}.$

Câu 44. Trong không gian $ Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z}{2}$ và $d_2:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z}{1}$. Đường thẳng $ d$ đi qua điểm $ A\left(1;0;1\right)$ lần lượt cắt $d_1,d_2$ tại $ B$ và $ C.$ Độ dài $ BC$ bằng
A. $\dfrac{7\sqrt{6}}{4}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{7\sqrt{6}}{2}$.

Lời giải câu 44
Do $ B\in{d_1}:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z}{2}\Rightarrow B\left(1+m;-1-m;2m\right)$
$ C\in{d_2}:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z}{1}\Rightarrow C\left(n;1+2n;n\right)$
$\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(m;-1-m;2m-1\right),\overrightarrow{AC}=\left(n-1;1+2n;n-1\right)$
Ta có $ A,B,C$ thẳng hàng $\Rightarrow\exists k\in\mathbb{R}:\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$
$\Rightarrow\left\{\begin{aligned} & m=k\left(n-1\right)\\ &-1-m=k\left(1+2n\right)\\ & 2m-1=k\left(n-1\right)\\ \end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned} & kn=m+k\\ &-1-m=2m+3k\\ & 2m-1=m\\ \end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned} & n=\dfrac{1}{4}\\ & k=-\dfrac{4}{3}\\ & m=1\\ \end{aligned}\right.$
$\Rightarrow B\left(2;-2;2\right),C\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{4}\right)\Rightarrow BC=\sqrt{\left(\dfrac{1}{4}-2\right)^2+\left(\dfrac{3}{2}+2\right)^2+\left(\dfrac{1}{4}-2\right)^2}=\dfrac{7\sqrt{6}}{4}$.

Câu 45. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $ m$ để bất phương trình $\dfrac{\log_3^2x-3\log_3x+2}{\sqrt{m-2^x}}< 0$ có không quá $ 3$ nghiệm nguyên dương?
A. $127$ .
B. $128$.
C. $63$.
D. $64$.

Lời giải câu 45
Điều kiện của bất phương trình $\left\{\begin{matrix} x>0
m-2^x>0
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x>0
{2^x}< m
\end{matrix}\right.$ (*).
Với $ m=1$ không tồn tại $ x>0$ để bất phương trình tồn tại. Do đó $ m=1$ thỏa mãn.
Với điều kiện trên bất phương trình tương đương $\log_3^2x-3\log_3x+2< 0\Leftrightarrow 3< x< 9$ (**).
Kết hợp điều kiện (*) và (**) ta được $\left\{\begin{matrix} 3< x< 9
\begin{aligned} &{2^x}< m\\ & m>1\\ \end{aligned}
\end{matrix}\right.$.
Khi đó bài yêu cầu của bài toán trở thành. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $ m>1$ để bất phương trình $2^x< m$ (***) có không quá $ 3$ nghiệm nguyên $ 3< x< 9$
Xét hàm số $ f(x)=2^x$, có $f'(x)=2^x\ln 2>0,\,\,\forall x$.
BBT \includegraphics[scale=0.2]{"IMG_De_thi_thu_chuyen_ha_tinh_2021/img-12"} TH1: $ 1< m\le 8$ bất phương trình (***) vô nghiệm. (thỏa mãn yêu cầu bài toán)
$\Rightarrow\,m\in\left\{ 2,3,4,...,8\right\}$ có $ 7$ giá trị $ m$.
TH2: $ 8< m\le{2^7}\Leftrightarrow 8< m\le 128$ bất phương trình (***) có không quá 3 nghiệm nguyên dương thuộc $\left(3;\,9\right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
$\Rightarrow m\in\left\{ 9,10,11,...,128\right\}$ có 120 giá trị $ m$.
Vậy có tổng công $ 128$ giá trị nguyên dương của tham số $ m$.

Câu 46. Trong không gian $ Oxyz$, cho mặt cầu $(S):\,\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2+z^2=4$ và điểm $ A\left(-1;1;1\right)$, $ B\left(2;-2;1\right)$. Điểm $ M$ di chuyển trên mặt cầu $(S)$. Giá trị lớn nhất của $\left| 2MA-3MB\right|$ đạt được là
A. $\sqrt{65}$.
B. $\sqrt{67}$.
C. $\sqrt{69}$.
D. $\sqrt{61}$.

Lời giải câu 46
\includegraphics[scale=0.2]{"IMG_De_thi_thu_chuyen_ha_tinh_2021/img-13"} Mặt cầu $(S)$ có tâm $ I\left(1;-1;0\right)$, bán kính $ R=2$.
$ IA=3>R,\,IB=\sqrt{3}< R$$\Rightarrow $ $ A$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$ còn $ B$ nằm trong mặt cầu $(S)$.
Ta tìm điểm $ K$ thỏa mãn: $ 2MA=3MK$. Khi đó ta có $\dfrac{MA}{MK}=\dfrac{3}{2}=\dfrac{IA}{IM}$.
$\Delta IAM$ và $\Delta IMK$ có $\widehat{I}$ chung và $\dfrac{MA}{IA}=\dfrac{MK}{IM}$ nên $\Delta IAM\sim\Delta IMK$. Suy ra $\overrightarrow{IK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{IA}$. Từ đó suy ra $ K\left(\dfrac{1}{9};\,-\dfrac{1}{9};\,\dfrac{4}{9}\right)$
Ta có $\left| 2MA-3MB\right|=\left| 3MK-3MB\right|=3\left| MK-MB\right|\le 3BK$.
Vậy $ max\left| 2MA-3MB\right|=3BK=\sqrt{67}$.

Câu 47. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số $ m$ để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất?
$\log_{\dfrac{1}{m}}\left(\sqrt{x^2+mx+5}+1\right).\log_5\left(x^2+mx+6\right)+\log_m3\ge 0$
A. $ 4$.
B. $ 1$.
C. $ 2$.
D. $ 3$.

Lời giải câu 47
Điều kiện: $\left\{\begin{matrix} 0< m\ne 1
{x^2}+mx+5\ge 0
\end{matrix}\right.$.
Bất phương trình có nghiệm duy nhất suy ra phương trình $\log_{\dfrac{1}{m}}\left(\sqrt{x^2+mx+5}+1\right).\log_5\left(x^2+mx+6\right)+\log_m3=0\,(1)$ có nghiệm duy nhất.
Nhận xét: Nếu $x_0$ là nghiệm của phương trình thì $-m-x_0$ cũng là nghiệm phương trình.
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất thì $-\dfrac{m}{2}$ cũng là nghiệm của phương trình.
Suy ra $\log_m\left(\sqrt{5-\dfrac{m^2}{4}}+1\right){\log_5}\left(6-\dfrac{m^2}{4}\right)=\log_m3\Leftrightarrow{\log_3}\left(\sqrt{5-\dfrac{m^2}{4}}+1\right){\log_5}\left(6-\dfrac{m^2}{4}\right)=1$
Đặt $ t=\log_3\left(\sqrt{5-\dfrac{m^2}{4}}+1\right),t>0$ta có $\left(3^t-1\right)^2=5^{\dfrac{1}{t}}-1$. Vì hàm số $ y=\left(3^t-1\right)^2$ là hàm số tăng trên $\left(0;+\infty\right)$ và hàm số $ y=5^{\dfrac{1}{t}}-1$ giảm trên $\left(0;+\infty\right)$ nên phương trình có nghiệm duy nhất $ t=1$. Suy ra $ m=2$. Thử lại trực tiếp ta có $ m=2$ thỏa.

Câu 48. Cho hình $ H$giới hạn bởi đồ thị của hàm số bậc $ 2$(nét mảnh) và đồ thị hàm số bậc $ 3$(nét đậm) như hình vẽ. \includegraphics[scale=0.2]{"IMG_De_thi_thu_chuyen_ha_tinh_2021/img-14"} Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình $ H$ quanh trục $ Ox$ là
A. $\dfrac{1024\pi}{35}$.
B. $\dfrac{4096}{35}$.
C. $\dfrac{5017\pi}{35}$.
D. $\dfrac{4096\pi}{35}$.

Lời giải câu 48
Gọi $(P):y=a{x^2}$. Vì $ A\left(4;16\right)\in(P)\Rightarrow a=1\Rightarrow(P):y=x^2$.
Gọi hàm số bậc ba có dạng là $ y=a{x^2}\left(x-m\right)$. Theo giả thiết ta có $\left\{\begin{matrix} -4=a{2^2}\left(2-m\right)
16=a{4^2}\left(4-m\right)
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 8a-4am=-4
64a-16am=16
\end{matrix}\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a=1
m=3
\end{matrix}\right.\right.$
Suy ra hàm số bậc có dạng là $ y=x^2\left(x-3\right)$.
Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là $ V=\pi\displaystyle\int\limits_0^2\left(x^2\left(x-3\right)\right)^2\text{d}x+\pi\displaystyle\int\limits_2^4x^4\text{d}x-\pi\displaystyle\int\limits_3^4\left(x^2\left(x-3\right)\right)^2\text{d}x=\dfrac{5017\pi}{35}$.

Câu 49. Cho số phức $ z$ thay đổi thỏa mãn $\left|\sqrt{3}z+i\right|=2.$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ S=\left| z-1\right|+\left| z+1\right|+\left| z+\sqrt{3}i\right|$ là
A. $\dfrac{4}{\sqrt{3}}$.
B. $\dfrac{16}{\sqrt{3}}$.
C. $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$.
D. $\dfrac{8}{\sqrt{3}}$.

Lời giải câu 49
Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z.
$\left|\sqrt{3}z+i\right|=2\Leftrightarrow\left| z+\dfrac{i}{\sqrt{3}}\right|=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\Rightarrow M(z)$ thuộc đường tròn tâm $ I\left(0;-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right);R=\dfrac{2}{\sqrt{3}}.$
Gọi $ A\left(1;0\right),B\left(-1;0\right),C\left(0;-\sqrt{3}\right).$ Ta thấy $ A,B,C\in\left(I;R\right).$ \includegraphics[scale=0.2]{"IMG_De_thi_thu_chuyen_ha_tinh_2021/img-15"} Ta có $ S=MA+MB+MC.$
Lại có $\Delta ABC$ đều.
Không mất tính tổng quát, giả sử $ M$thuộc cung nhỏ AB.
Theo định lý Ptoleme, ta có $ AB.MC=AC.MB+BC.MA\Leftrightarrow MC=MA+MB$ (do $\Delta ABC$đều).
$\Rightarrow S=MA+MB+MC=2MC\le 2.2R=\dfrac{8}{\sqrt{3}}.$
Dấu “=” xảy ra khi $ M,I,C$ thẳng hàng.

Câu 50. Cho hàm số $ y=x^3-\left(m+2\right){x^2}-\left(2m+13\right)x-m-2$ có đồ thị $\left(C_m\right),$ đường thẳng $ d:y=mx+m+8$ và điểm $ I\left(1;4\right).$ Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m, biết rằng đường thẳng d cắt đồ thị $\left(C_m\right)$ tại ba điểm phân biệt A, B, C với A có hoành độ bằng $-2$ và tam giác IAB cân tại I.
A. $-12$.
B. $-6$.
C. $-4$.
D. $-10$.

Lời giải câu 50
Xét phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-\left(m+2\right){x^2}-\left(2m+13\right)x-m-2=mx+m+8.$
$x^3-\left(m+2\right){x^2}-\left(3m+13\right)x-2m-10=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} & x=-2\\ & x=-1\\ & x=m+5\\ \end{aligned}\right..$
Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} & m+5\ne-2\\ & m+5\ne-1\\ \end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} & m\ne-7\\ & m\ne-6\\ \end{aligned}\right..$
Khi đó $ A\left(-2;-m+8\right),$$ B\left(-1;8\right),C\left(m+5;{m^2}+6m+8\right).$
Để I, B, C lập thành tam giác $\Leftrightarrow I\notin d\Rightarrow 2m+8\ne 4\Leftrightarrow m\ne-2.$
Gọi $ M\left(\dfrac{m+4}{2};\dfrac{m^2+6m+16}{2}\right)$ là trung điểm của BC.
$\Rightarrow\overrightarrow{IM}=\left(\dfrac{m+2}{2};\dfrac{m^2+6m+8}{2}\right).$
$ d:y=mx+m+8\Rightarrow mx-y+m+8=0.$
$\Rightarrow\overrightarrow{n_d}=\left(m;-1\right)\Rightarrow\overrightarrow{u_d}=\left(1;m\right).$
Do tam giác IBC cân nên $ IM\perp BC\Rightarrow IM\perp d.$
$\Rightarrow\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{u_d}=0\Leftrightarrow 1\left(m+2\right)+m\left(m^2+6m+8\right)=0$
$\Leftrightarrow{m^3}+6m^2+9m+2=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} & m=-2-\sqrt{3}(n)\\ & m=-2+\sqrt{3}(n)\\ & m=-2(l)\\ \end{aligned}\right.$
$\Rightarrow\sum{m}=-4.$

   Số câu đúng