KOTIMART

Chia sẻ tài liệu Toán THPT Quốc Gia

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2021 - Chuyên Hà Tỉnh





LUYỆN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA CHUYÊN HÀ TỈNH (ONLINE) LỜI GIẢI CHI TIẾT


Câu 1. Đạo hàm của hàm số $y=x .3^{x}$ là
A. $y'=3^x\ln 3$ .
B. $y'=\left(1+x\ln 3\right){3^x}$.
C. $y'=\left(1+x\right){3^x}$.
D. $y'=3^x$.

Lời giải câu 1

$ y=x{3^x}$
$y'=3^x+x{3^x}\ln 3=3^x\left(1+x\ln 3\right)$.

Câu 2. Cho hàm số $ f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ bên. \includegraphics[scale=0.2]{"IMG_De_thi_thu_chuyen_ha_tinh_2021/img-1"} Hàm số đã cho đạt cực đại tại
A. $x=2$ .
B. $x=0$.
C. $x=1$.
D. $x=-1$.

Lời giải câu 2

Từ bảng biến thiên của hàm số ta thấy hàm số đạt cực đại tại $ x=0.$

Câu 3. Từ các chữ số $ 0;1;2;3;4;5$ lập được bao nhiêu số tự nhiên có $ 5$ chữ số phân biệt?
A. $720$.
B. $120$.
C. $96$ .
D. $600$.

Lời giải câu 3

Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcde}$ với $ a,b,c,d,e\in\left\{ 0;1;2;3;4;5\right\};\,a\ne 0$.
Chọn số xếp vào vị trí $ a$: $ 5$ cách chọn.
Chọn số xếp vào vị trí $ b,c,d,e:$$ A_5^4$ cách chọn.
Khi đó thành lập được $ 5.A_5^4=600$ số.

Câu 4. Tích phân $\displaystyle\int\limits_{\sqrt{3}}^3x^2\text{d}x=a+b\sqrt{3},\left(a,b\in\mathbb{Z}\right)$. Khi đó $ a-2b$ bằng
A. $10$.
B. $7$.
C. $8$ .
D. $11$.

Lời giải câu 4

Ta có: $\displaystyle\int\limits_{\sqrt{3}}^3x^2\text{d}x=\left.\dfrac{x^3}{3}\right|_{\sqrt{3}}^3=9-\sqrt{3}$. Suy ra: $ a=9,b=-1$. Từ đó: $ a-2b=9-2\left(-1\right)=11$.

Câu 5. Tập xác định của hàm số $ y=\log_2\left(3-x\right)+\left(x-1\right)^{\pi}$ là
A. $\left(-\infty ;3\right)\setminus\left\{ 1\right\}$.
B. $\left(-\infty ;1\right)$.
C. $\left(3;+\infty\right)$ .
D. $\left(1;3\right)$.

Lời giải câu 5

Ta có: $ y$ xác định $\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} & 3-x>0\\ & x-1>0\\ \end{aligned}\right.\Leftrightarrow 1< x< 3$. Vậy tập xác định $ D=\left(1;3\right)$.

Câu 6. Cho hình lập phương $ ABCD.A\prime B\prime C\prime D\prime $ có đường chéo $ AC\prime=a\sqrt{3}$. Thể tích khối lập phương đó bằng
A. $a^3$.
B. $3\sqrt{3}{a^3}$.
C. $4a^3$.
D. $2a^3$.

Lời giải câu 6

Hình lập phương có cạnh $ a$ thì có độ dài đường chéo là $ a\sqrt{3}$.
Theo đề bài, $ AC\prime=a\sqrt{3}$ nên suy ra cạnh của hình lập phương $ ABCD.A\prime B\prime C\prime D\prime $ cũng là $ a$.
Vậy hình lập phương $ ABCD.A\prime B\prime C\prime D\prime $ có thể tích là $a^3$.

Câu 7. Cho số phức $ z=3-5i$. Phần ảo của $ z$là
A. $ i$.
B. $-5$.
C. $ 3$.
D. $ 5$.

Lời giải câu 7

Phần ảo của $ z=3-5i$ là $-5$.

Câu 8. Cho hàm số $ f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=x\left(x^2-x\right)\left(x-2\right)$. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. $ 2$.
B. $ 3$.
C. $ 4$.
D. $ 1$.

Lời giải câu 8

Ta có: $f'(x)=x\left(x^2-x\right)\left(x-2\right)=x^2\left(x-1\right)\left(x-2\right)$.
$f'(x)=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} & x=0\\ & x=1\\ & x=2\\ \end{aligned}\right.$; $f'(x)$ đổi dấu khi qua $ x=1,x=2$và không đổi dấu khi qua $ x=0$.
Vậy hàm số đã cho có $ 2$ điểm cực trị là $ x=1$ và $ x=2$.

Câu 9. Với $ a$ là số thực dương tùy ý, $4^{\log_2a}$ bằng
A. $\dfrac{a}{2}$.
B. $\sqrt{a}$.
C. $a^2$.
D. $2^a$.

Lời giải câu 9

Ta có: $4^{\log_2a}=2^{2.\log_2a}=\left(2^{\log_2a}\right)^2=a^2$.

Câu 10. Cho hàm số $ f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. \includegraphics[scale=0.2]{"IMG_De_thi_thu_chuyen_ha_tinh_2021/img-2"} Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left(1;2\right)$.
B. $\left(2;+\infty\right)$.
C. $\left(-2;2\right)$.
D. $\left(-\infty ;1\right)$.

Lời giải câu 10

Câu 11. Nếu $\displaystyle\int\limits_{-1}^3f(x)\text{d}x=-1$ và $\displaystyle\int\limits_{-1}^1f(x)\text{d}x=-2$ thì $\displaystyle\int\limits_1^32f(x)\text{d}x$ bằng
A. $-6$.
B. $-2$.
C. $ 2$.
D. $ 6$.

Lời giải câu 11

Ta có $\displaystyle\int\limits_1^32f(x)\text{d}x=2\displaystyle\int\limits_1^3f(x)\text{d}x=2\left[\displaystyle\int\limits_{-1}^3f(x)\text{d}x-\displaystyle\int\limits_{-1}^1f(x)\text{d}x\right]=2.\left[-1-\left(-2\right)\right]=2$.

Câu 12. Cho số phức $ z=2-3i$. Điểm $ M$ biểu diễn số phức $w=\left(1-2i\right)\overline{z}+3i$ có tọa độ là
A. $\left(8;2\right)$.
B. $\left(1;8\right)$.
C. $\left(8;-1\right)$.
D. $\left(2;8\right)$.

Lời giải câu 12

Ta có $w=\left(1-2i\right)\overline{z}+3i=w=\left(1-2i\right)\left(2+3i\right)+3i=2+3i-4i-6i^2+3i=8+2i$ .
Vậy điểm biểu diễn $ M\left(8;2\right)$.

Câu 13. Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình $2f(x)-5=0$ là \includegraphics[scale=0.2]{"IMG_De_thi_thu_chuyen_ha_tinh_2021/img-3"}
A. $ 2$.
B. $ 3$.
C. $ 0$.
D. $ 1$.

Lời giải câu 13

Số nghiệm của phương trình $2f(x)-5=0$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ với đường thẳng $y=\dfrac{5}{2}$ (song song hoặc trùng với $Ox$).
Quan sát đồ thị thấy $y_{CT}< \dfrac{5}{2}< y_C$ nên đồ thị $y=f(x)$ cắt $y=\dfrac{5}{2}$ tại 3 điểm phân biệt hay phương trình $2f(x)-5=0$ có 3 nghiệm.

Câu 14. Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\dfrac{1}{4}}\left(x-1\right)>-1$ là
A. $\left(\dfrac{5}{4};+\infty\right)$.
B. $\left(1;\dfrac{5}{4}\right)$.
C. $\left(-\infty ;\ 2\right)$.
D. $\left(1;\ 5\right)$.

Lời giải câu 14

TXĐ: $D=\left(1;+\infty\right)$
$\begin{aligned} &{\log_{\dfrac{1}{4}}}\left(x-1\right)>-1\\ &=>\ x\-\ 1\ < \left(\dfrac{1}{4}\right)^{-1}\Leftrightarrow\ x\-\ 1< 4\Leftrightarrow x< 5\\ \end{aligned}$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left(1;\ 5\right)$.

Câu 15. Cho số phức $z$ thỏa mãn $(1-3i)z+5=7i$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $\overline{z}=\dfrac{13}{5}+\dfrac{4}{5}i$.
B. $\overline{z}=\dfrac{13}{5}-\dfrac{4}{5}i$.
C. $\overline{z}=-\dfrac{13}{5}+\dfrac{4}{5}i$.
D. $\overline{z}=-\dfrac{13}{5}-\dfrac{4}{5}i$.

Lời giải câu 15

$(1-3i)z+5=7i\Leftrightarrow z=\dfrac{7i\-5}{1- 3i}=-\dfrac{13}{5}-\dfrac{4}{5}i$
Vậy $\overline{z}=-\dfrac{13}{5}+\dfrac{4}{5}i$.

Câu 16. Cho khối nón có bán kính đáy bằng $a$ và chiều cao bằng $a\sqrt{3}$ . Diện tích xung quanh của khối nón đã cho bằng
A. $\dfrac{\pi{a^2}}{2}$.
B. $4\pi{a^2}$.
C. $8\pi{a^2}$ .
D. $2\pi{a^2}$.

Lời giải câu 16

Ta có: $l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{a^2+3a^2}=2a.$
Diện tích xung quanh của khối nón là $S_{xq}=\pi rl=\pi .a.2a=2\pi{a^2}.$

Câu 17. Cấp số cộng có số hạng đầu bằng 2, công sai bằng 4. Số hạng thứ 3 của cấp số cộng đó bằng
A. $10$.
B. $12$.
C. $6$.
D. $8$.

Lời giải câu 17

Số hạng thứ 3 của cấp số cộng trên là: $u_3=u_1+2d=2+2.4=10.$

Câu 18. Cho hình bát diện đều cạnh $ a$ (tham khảo hình vẽ bên). Thể tích khối bát diện đều này là \includegraphics[scale=0.2]{"IMG_De_thi_thu_chuyen_ha_tinh_2021/img-4"}
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}{a^3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}{a^3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{4}{a^3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}{a^3}$.

Lời giải câu 18

\includegraphics[scale=0.2]{"IMG_De_thi_thu_chuyen_ha_tinh_2021/img-5"} Vì $ ABCD$ là hình vuông nên $ OA=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}\sqrt{A{B^2}+B{C^2}}=\dfrac{1}{2}a\sqrt{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
$\Delta SOA$ vuông tại $ O$: $ SO=\sqrt{S{A^2}-O{A^2}}=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
$V_{SABCD{S}'}=2V_{SABCD}=2\dfrac{1}{3}.SO.A{B^2}=2.\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.a^2=\dfrac{a^3\sqrt{2}}{3}$.

Câu 19. Cho hàm số $ f(x)=\sin x+2021$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x}=-\cos x+2021x+C$.
B. $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x}=\cos x+2021x+C$.
C. $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x}=\cos x+C$.
D. $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x}=-\cos x+C$.

Lời giải câu 19

Ta có:$\displaystyle\int{f(x)\text{d}x}=\displaystyle\int{\left(\sin x+2021\right)\text{d}x}$$=-\cos x+2021x+C$.

Câu 20. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $ y=\dfrac{2x+1}{x-1}$ là đường thẳng
A. $ y=1$.
B. $ x=2$.
C. $ x=1$.
D. $ x=-2$.

Lời giải câu 20

Ta có: $\underset{x\to{1^-}}{\lim}\,y$$=\underset{x\to{1^-}}{\lim}\,\dfrac{2x+1}{x-1}=-\infty $; $\underset{x\to{1^+}}{\lim}\,y$$=\underset{x\to{1^+}}{\lim}\,\dfrac{2x+1}{x-1}=+\infty $.
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $ x=1$.

Câu 21. Thể tích của khối cầu có đường kính bằng $ 2a$ là
A. $\dfrac{8}{3}\pi{a^3}$.
B. $ 4\pi{a^3}$.
C. $\dfrac{4}{3}\pi{a^3}$.
D. $ 2\pi{a^3}$.

Lời giải câu 21

Bán kính mặt cầu: $ r=a$.
Thể tích khối cầu: $ V=\dfrac{4}{3}\pi{r^3}$$=\dfrac{4}{3}\pi{a^3}$.

Câu 22. Hàm số $ y=\ln\left(4-x^2\right)$ đồng biến trên khoảng
A. $\left(-2;2\right)$.
B. $\left(-\infty ;2\right)$.
C. $\left(0;2\right)$.
D. $\left(-2;0\right)$.

Lời giải câu 22

Ta có $ y=\ln\left(4-x^2\right)$ xác định với $\forall x\in\left(-2;2\right)$
có $y'=\dfrac{-2x}{4-x^2},y'>0\Leftrightarrow-2< x< 0$

Câu 23. Cho hàm số $f(x)=e^{-3x+1}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x=-3e^{-3x+1}+C}$.
B. $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x=e^{-3x+1}+C}$.
C. $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x=-\dfrac{1}{3}{e^{-3x+1}}+C}$.
D. $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x=\dfrac{1}{3}{e^{-3x+1}}+C}$.

Lời giải câu 23

Ta có $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x=\displaystyle\int{e^{-3x+1}}\text{d}x}=\dfrac{-1}{3}{e^{-3x+1}}+C$.

Câu 24. Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong bên? \includegraphics[scale=0.2]{"IMG_De_thi_thu_chuyen_ha_tinh_2021/img-6"}
A. $ y=-x^3+3x^2$.
B. $ y=x^4-3x^2$.
C. $ y=x^3-3x^2$.
D. $ y=-x^4+3x^2$.

Lời giải câu 24

Đồ thị hàm số đã cho là đồ thị hàm bậc bốn dạng $ y=a{x^4}+b{x^2}+c$ với hệ số $ a>0$ nên chọn phương án

Câu 25. Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $ A\left(1;1;2\right)$, $ B\left(3;1;0\right)$, $ C\left(-1;1;1\right)$. Trọng tâm của tam giác $ ABC$ có tọa độ là
A. $\left(2;1;1\right)$.
B. $\left(3;3;3\right)$.
C. $\left(1;1;1\right)$.
D. $\left(6;2;2\right)$.

Lời giải câu 25

Gọi $ G$là trọng tâm $\Delta ABC$, ta có:
$\left\{\begin{aligned} &{x_G}=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}=\dfrac{1+3-1}{3}=1\\ &{y_G}=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}=\dfrac{1+1+1}{3}=1\\ &{z_G}=\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3}=\dfrac{2+0+1}{3}=1\\ \end{aligned}\right.$.
$\Rightarrow G\left(1;1;1\right)$ .

Câu 26. Cho đồ thị hàm số $ y=a{x^4}+b{x^2}+c$ có điểm cực đại $ A\left(0;-3\right)$ và điểm cực tiểu $ B\left(-1;-5\right)$. Tính giá trị của $ P=a+2b+3c$.
A. $ P=3$.
B. $ P=-5$.
C. $ P=-9$.
D. $ P=-15$.

Lời giải câu 26

Ta có: $ y=a{x^4}+b{x^2}+c\Rightarrow y'=4a{x^3}+2bx=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} & x=0\\ &{x^2}=-\dfrac{b}{2a}\\ \end{aligned}\right.$.
Vì đồ thị hàm số có điểm cực đại $ A\left(0;-3\right)$ nên $ y=a.0+b.0+c=-3\Rightarrow c=-3$.
Vì đồ thị hàm số có điểm cực tiểu $ B\left(-1;-5\right)$ nên ta suy ra:
$\left\{\begin{aligned} &{x^2}=-\dfrac{b}{2a}=\left(-1\right)^2\\ &-5=a.\left(-1\right)^4+b.\left(-1\right)^2-3\\ \end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned} & b=-2\text{a}\\ & a+b=-2\\ \end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned} & a=2\\ & b=-4\\ \end{aligned}\right.$.
$\Rightarrow P=a+2b+3c=2+2.\left(-4\right)+3.\left(-3\right)=-15$.

Câu 27. Trong không gian $Oxyz$ , đường thẳng đi qua hai điểm $ A\left(3;1;0\right)$ và $ B\left(-1;1;1\right)$ có phương trình là
A. $\left\{\begin{aligned} & x=7-4t\\ & y=1\\ & z=-1+t\\ \end{aligned}\right.$.
B. $\left\{\begin{aligned} & x=-1+4t\\ & y=1\\ & z=1+t\\ \end{aligned}\right.$.
C. $\left\{\begin{aligned} & x=3-4t\\ & y=t\\ & z=1+t\\ \end{aligned}\right.$.
D. $\left\{\begin{aligned} & x=3-4t\\ & y=1+t\\ & z=t\\ \end{aligned}\right.$.

Lời giải câu 27

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $ A\left(3;1;0\right)$ và $ B\left(-1;1;1\right)$ nhận $\overrightarrow{AB}=\left(-4;0;1\right)$làm vectơ chỉ phương có dạng:
$\left\{\begin{aligned} &{x_A}=x_O-4t\\ &{y_A}=y_O\\ &{z_A}=z_O+t\\ \end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} & 3=x_O-4t\\ & 1=y_O\\ & 0=z_O+t\\ \end{aligned}\right.\left(t\in\mathbb{R}\right)$.
Chọn $ t=1\Rightarrow\left\{\begin{aligned} &{x_O}=7\\ &{y_O}=1\\ &{z_O}=-1\\ \end{aligned}\right.$.
Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $ A,B$ là:
$\left\{\begin{aligned} & x=7-4t\\ & y=1\\ & z=-1+t\\ \end{aligned}\right.$.

Câu 28. Một học sinh tô ngẫu nhiên $5$ câu trắc nghiệm (mỗi câu có $4$ phương án lựa chọn, trong đó chỉ có $1$ phương án trả lời đúng). Xác suất để học sinh đó tô sai cả $5$ câu bằng
A. $\dfrac{15}{1024}$.
B. $\dfrac{3}{4}$.
C. $\dfrac{243}{1024}$.
D. $\dfrac{1}{1024}$.

Lời giải câu 28

Ta có xác suất để tô một câu đúng là $\dfrac{1}{4}$ và xác suất để tô một câu sai là $\dfrac{3}{4}$ .
Vậy xác suất để học sinh đó tô sai cả $5$ câu là $C_5^5\left(\dfrac{3}{4}\right)^5=\dfrac{243}{1024}$ .

Câu 29. Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A\left(1;1;2\right)$ và $B\left(3;1;0\right)$ . Mặt cầu đường kính $AB$ có phương trình là
A. $\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=8$.
B. $\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=2$.
C. $\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-2\right)^2=8$.
D. $\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2+z^2=2$.

Lời giải câu 29

Gọi $I,R$ lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu có đường kính $AB$ , khi đó $I\left(2;1;1\right)$ và $R=\dfrac{1}{2}AB=\sqrt{2}$ . Vậy phương trình mặt cầu đường kính $AB$ : $\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=2$.

Câu 30. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$ , cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA=a\sqrt{2},\,AD=2AB=2BC=2a$ . Côsin góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left(SAD\right)$ và $\left(SCD\right)$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
D. $\dfrac{1}{2}$.

Lời giải câu 30

\includegraphics[scale=0.2]{"IMG_De_thi_thu_chuyen_ha_tinh_2021/img-7"} Do $AD=2AB=2BC=2a\Rightarrow AD=2a,\,AB=BC=a$ .
Gọi $K,\,I$ lần lượt là hình chiếu của $C$ lên $AD$ và $SD$ ; $\alpha=\widehat{\left(\left(SAD\right),\left(SCD\right)\right)}$ .
Khi đó $CK\perp\left(SAD\right)\Rightarrow d\left(C,\left(SAD\right)\right)=CK=a$ . Vậy $\sin\alpha=\dfrac{d\left(C,\left(SAD\right)\right)}{d\left(C,SD\right)}=\dfrac{CK}{CI}\,(*)$ .
Ta có $CK=\dfrac{1}{2}AD\Rightarrow CD\perp AC\Rightarrow CD\perp\left(SAC\right)\Rightarrow CD\perp SC$ .
Mặt khác: $S{C^2}=S{A^2}+A{C^2}=4a^2;\,C{D^2}=C{K^2}+K{D^2}=2a^2$ .
Trong tam giác vuông $SCD$ ta có $\dfrac{1}{C{I^2}}=\dfrac{1}{C{D^2}}+\dfrac{1}{S{C^2}}=\dfrac{1}{2a^2}+\dfrac{1}{4a^2}=\dfrac{3}{4a^2}\Rightarrow CI=\dfrac{2a}{\sqrt{3}}$ .
Từ (*) ta có $\sin\alpha=\dfrac{a}{\dfrac{2a}{\sqrt{3}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\cos\alpha=\dfrac{1}{2}$ .

Câu 31. Nếu $\displaystyle\int\limits_3^52f(x)\text{d}x\,=3$ thì $\displaystyle\int\limits_1^2f\left(2x+1\right)\text{d}x$ bằng
A. $\dfrac{3}{2}$.
B. $ 3$.
C. $ 6$.
D. $\dfrac{3}{4}$.

Lời giải câu 31

$ I=\displaystyle\int\limits_1^2f\left(2x+1\right)\,\text{d}x$
Đặt $ t=2x+1\Rightarrow\text{d}t=2\text{d}x$.
Với $ x=1\Rightarrow t=3;\,$Với $ x=2\Rightarrow t=5$
Vậy $I=\displaystyle\int\limits_3^5f(t)\,.\dfrac{1}{2}\text{d}t=\dfrac{1}{4}\displaystyle\int\limits_3^52f(t)\,\text{d}t=\dfrac{1}{4}\displaystyle\int\limits_3^52f(x)\,\text{d}x=\dfrac{3}{4}.$

Câu 32. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $ M\left(-1;2;1\right)$ và $ N\left(3;0;-1\right)$. Mặt phẳng trung trực của MN có phương trình là.
A. $ 4x-2y-2z+1=0$.
B. $-2x+y+z+1=0$.
C. $ x+y-2=0$.
D. $-2x+y+z+7=0$.

Lời giải câu 32

Tọa độ trung điểm $ I$ của đoạn $ MN$ là $ I\left(1;1;0\right)$
Mặt phẳng trung trực của MN đi qua $ I$ và nhận $\overrightarrow{MN}=\left(4;-2;-2\right)$ làm VTPT nên có phương trình $ 4(x-1)-2\left(y-1\right)-2z=0\Leftrightarrow 4x-2y-2z-2=0\Leftrightarrow-2x+y+z+1=0$

Câu 33. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $ m$ để phương trình $2^{x^2+1}-2m^2=0$ có nghiệm.
A. $\left[\begin{array}{*{35}{l}} m\ge 1
m\le-1
\end{array}\right.$.

B. $ m>0$.
C. $-1\le m\le 1$.
D. $ m\ne 0$.

Lời giải câu 33

Ta có $2^{x^2+1}-2m^2=0\Leftrightarrow{2^{x^2+1}}=2m^2$
Vì $x^2\ge 0\Leftrightarrow{x^2}+1\ge 1\Leftrightarrow{2^{x^2+1}}\ge 2$ nên $ 2m^2\ge 2\Leftrightarrow{m^2}\ge 1\Leftrightarrow\left[\begin{array}{*{35}{l}} m\ge 1
m\le-1
\end{array}\right.$

Câu 34. Cho hàm số $ y=\dfrac{\left(m^2-m\right)}{3}{x^3}+\left(m^2-m\right){x^2}+mx+2$, với $ m$ là tham số. Có bao nhiêu số nguyên $ m$ để hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$?
A. $ 3$.
B. $ 5$.
C. $ 1$.
D. $ 2$.

Lời giải câu 34

Tập xác định: $ D=\mathbb{R}$
Ta có $y'=\left(m^2-m\right){x^2}+2\left(m^2-m\right)x+m$
TH1: $m^2-m=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} & m=0\\ & m=1\\ \end{aligned}\right.$
+ Nếu $ m=0$ thì $y'=0,$ với mọi $ x\in\mathbb{R}$ (loại).
+ Nếu $ m=1$ thì $y'=1>0,$với mọi $ x\in\mathbb{R}$ (thỏa mãn).
TH2: $ m\ne 0;\,m\ne 1$
Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow{y}'\ge 0,\,$với mọi $ x\in\mathbb{R}$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} &{\left(m^2-m\right)^2}-m\left(m^2-m\right)\le 0\\ &{m^2}-m>0\\ \end{aligned}\right.$$\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} &\left(m^2-m\right).\left(m^2-2m\right)\le 0\\ &{m^2}-m>0\\ \end{aligned}\right.\Rightarrow 0< m\le 2$
Vì $ m\in\mathbb{Z}$ và $ m\ne 1$ $\Rightarrow m=2$(thỏa mãn).
Vậy có 2 số nguyên $ m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 35. Trong không gian $ Oxyz,$đường thẳng nào dưới đây đi qua điểm $ M\left(1;-2;1\right)$?
A. $d_1:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z+1}{3}$.
B. $d_3:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{-3}=\dfrac{z-1}{1}$.
C. $d_4:\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-1}{3}$.
D. $d_1:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{3}=\dfrac{z+1}{-1}$.

Lời giải câu 35

Lần lượt thay $ x=1,\,y=-2,\,z=1$ vào phương trình của $d_1,\,d_2,\,d_3,\,d_4$ để kiểm tra
$\Rightarrow M\in{d_3}$.

Câu 36. Trong không gian $ Oxyz,$ mặt cầu $(S):{x^2}+\left(y-1\right)^2+\left(z+2\right)^2=4$ có tọa độ tâm $ I$ là
A. $ I\left(0;1;-2\right)$.
B. $ I\left(0;1;2\right)$.
C. $ I\left(0;-1;2\right)$.
D. $ I\left(1;1;-2\right)$.

Lời giải câu 36

Mặt cầu $(S)$ có tâm $ I\left(0;1;-2\right)$.

Câu 37. Cho lăng trụ $ ABC.A'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác đều cạnh $ a$, góc giữa $ 2$ mặt phẳng $\left(A'{B}'{C}'\right)$ và $\left(BC{C}'{B}'\right)$ bằng $ 60^\circ $, hình chiếu của $B'$ lên mặt phẳng $\left(ABC\right)$ trùng với trọng tâm tam giác $ ABC$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $ A{A}'$ và $B'C$ bằng
A. $\dfrac{3a}{4}$.
B. $\dfrac{a}{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
D. $\dfrac{a}{4}$.

Lời giải câu 37

\includegraphics[scale=0.2]{"IMG_De_thi_thu_chuyen_ha_tinh_2021/img-8"} Ta có: $\left(ABC\right)\,//\,\left(A'{B}'{C}'\right)$$\Rightarrow\widehat{\left(\left(A'{B}'{C}'\right);\,\left(BC{C}'{B}'\right)\right)}$$=\widehat{\left(\left(ABC\right);\left(BC{C}'{B}'\right)\right)}$$=60^\circ $.
Gọi $ G$ là trọng tâm tam giác $ ABC$, theo bài ra ta có: $B'G\perp\left(ABC\right)$.
Kẻ $ AG$cắt $ BC$ tại $ M$$\Rightarrow AM\perp BC$.
Ta có: $\left\{\begin{aligned} & GM\perp BC\\ &{B}'G\perp BC\\ \end{aligned}\right.$$\Rightarrow BC\perp\left(B'GM\right)$$\Rightarrow BC\bot{B}'M$$\Rightarrow\widehat{\left(\left(ABC\right);\left(BC{C}'{B}'\right)\right)}$$=\widehat{B'MG}=60^\circ $.
$\left\{\begin{aligned} & A{A}'\,//B{B}'\\ & B{B}'\subset\left(BC{C}'{B}'\right)\\ \end{aligned}\right.$$\Rightarrow d\left(A{A}';\,B'C\right)=d\left(A{A}';\,\left(BC{C}'{B}'\right)\right)$$=d\left(A;\,\left(BC{C}'{B}'\right)\right)$.
Ta có: $\dfrac{d\left(A;\left(BC{C}'{B}'\right)\right)}{d\left(G;\,\left(BC{C}'{B}'\right)\right)}=\dfrac{AM}{GM}=3$$\Rightarrow d\left(A;\,\left(BC{C}'{B}'\right)\right)=3d\left(G;\,\left(BC{C}'{B}'\right)\right)$.
Kẻ $ GK\bot{B}'M,\,\left(K\in{B}'M\right)$$\Rightarrow GK\perp\left(BC{C}'{B}'\right)$$\Rightarrow d\left(G;\,\left(BC{C}'{B}'\right)\right)=GK$.
Xét tam giác $ GKM$ vuông tại $ K$ ta có: $ GK=GM.\sin 60^\circ $$=\dfrac{1}{3}\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a}{4}$.
$\Rightarrow d\left(A;\,\left(BC{C}'{B}'\right)\right)=\dfrac{3a}{4}$.

Câu 38. Cho hai số phức $z_1,z_2$ là các nghiệm của phương trình $z^2+4z+13=0$. Khi đó mô đun của số phức $w=\left(z_1+z_2\right)i+z_1z_2$ bằng
A. $ 13\sqrt{5}$.
B. $\sqrt{195}$.
C. $\sqrt{185}$.
D. $ 13$.

Lời giải câu 38

$z^2+4z+13=0$
Theo định lý Vi ét ta có $\left\{\begin{aligned} &{z_1}+z_2=-4\\ &{z_1}.z_2=13\\ \end{aligned}\right.(1)$
Thay $(1)$ vào $w=\left(z_1+z_2\right)i+z_1z_2$ ta có $w=-4i+13\Rightarrow\left| w\right|=\sqrt{\left(-4\right)^2+13^2}=\sqrt{185}$ .

Câu 39. Một gia đình muốn làm cánh cổng (như hình vẽ). Phần phía trên cổng có hình dạng là một parabol với $ IH=2,5m$, phần phía dưới là một hình chữ nhật với kích thước cạnh $ A\text{D}=4m,AB=6m$. Giả sử giá để làm phần cổng để tô màu là $ 1.000.000$đ/m2 và giá để làm phần cổng phía trên là $ 1.200.000$ đ/m2. Số tiền gia đình đó phải trả là \includegraphics[scale=0.2]{"IMG_De_thi_thu_chuyen_ha_tinh_2021/img-9"}
A. $ 24.400.000$ đ.
B. $ 36.000.000$đ.
C. $ 38.000.000$ đ.
D. $ 38.800.000$ đ.

Lời giải câu 39

\includegraphics[scale=0.2]{"IMG_De_thi_thu_chuyen_ha_tinh_2021/img-10"} Dựng hệ trục tọa độ $ Oxy$ như hình vẽ. Khi đó Parabol $ y=a{x^2}+bx+c$ có đỉnh $ I\left(0;\dfrac{5}{2}\right)$, cắt trục $Ox$ tại $ A\left(-3;0\right);B\left(3;0\right)$ nên Parabol là: $ y=\dfrac{-5}{18}{x^2}+\dfrac{5}{2}$.
Khi đó phần cổng phía trên có diện tích là: $ S_1^=\displaystyle\int\limits_{-3}^3\left(\dfrac{-5}{18}{x^2}+\dfrac{5}{2}\right)\text{d}x=10m^2$.
Diện tích của phần cổng hình chữ nhật phía dưới là: $ S_2^=4.6=24m^2$.
Vậy tổng chi phí gia đình đó phải trả để làm cổng là:
$ 1.200.000\times 10+1.000.000\times 24=36.000.000$ đ.

Câu 40. Có bao nhiêu giá trị của tham số $ m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y=\dfrac{x-m^2-2}{x-m}$ trên đoạn $\left[0;4\right]$ bằng $\dfrac{1}{2}$.
A. $ 0$.
B. $ 2$.
C. $ 3$.
D. $ 1$.

Lời giải câu 40

$y=\dfrac{x-m^{2}-2}{x-m}$ có $T X D: D=\mathbb{R} \backslash\{m\}$ và $y^{\prime}=\dfrac{m^{2}-m+2}{(x-m)^{2}}>0, \forall \mathrm{x} \in D$ nên hàm số đồng biến trên từng khoảng của tâp xác đinh.
Để giá trị lớn nhất của hàm số trên $\left[0;4\right]$ bằng $\dfrac{1}{2}$ thì: $\left\{\begin{aligned} & y(4)=\dfrac{1}{2}\\ & m\notin\left(0;4\right]\\ \end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} &\dfrac{2-m^2}{4-m}=\dfrac{1}{2}\\ & m\notin\left(0;4\right]\\ \end{aligned}\right.\Leftrightarrow m=0$ .

Câu 41. Cho hàm số $ f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $ f(2)=3$, $\displaystyle\int\limits_1^4\dfrac{f\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}\text{d}x=2$, $\displaystyle\int\limits_0^2x{f}'(x)\text{d}x=3$. Tính $ I=\displaystyle\int\limits_0^1f(x)\text{d}x$
A. $ 5$.
B. $ 1$.
C. $ 2$.
D. $ 3$.

Lời giải câu 41

Xét tích phân: $ 2=\displaystyle\int\limits_1^4\dfrac{f\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}\text{d}x=2\displaystyle\int\limits_1^4f\left(\sqrt{x}\right).\dfrac{\text{d}x}{2\sqrt{x}}=2\displaystyle\int\limits_1^4f\left(\sqrt{x}\right).d\left(\sqrt{x}\right)=2\displaystyle\int\limits_1^2f(t).\text{d}t\Rightarrow\displaystyle\int\limits_1^2f(t).\text{d}t=1$
Hay $\displaystyle\int\limits_1^2f(x).\text{d}x=1$.
Xét tích phân: $\displaystyle\int\limits_0^2x{f}'(x)\text{d}x=3$. Đặt $\left\{\begin{aligned} & u=x\\ & dv=f'(x)\text{d}x\\ \end{aligned}\right.$ chọn $\left\{\begin{aligned} &\text{d}u=\text{d}x\\ & v=f(x)\\ \end{aligned}\right.$,khi đó:
$ 3=\displaystyle\int\limits_0^2x{f}'(x)\text{d}x=xf(x)\left|\begin{aligned} & 2\\ & 0\\ \end{aligned}\right.-\displaystyle\int\limits_0^2f(x)\text{d}x=2f(2)-\displaystyle\int\limits_0^2f(x)\text{d}x=6-\displaystyle\int\limits_0^2f(x)\text{d}x\Rightarrow\displaystyle\int\limits_0^2f(x)\text{d}x=3$.
Ta có: $ I=\displaystyle\int\limits_0^1f(x)\text{d}x=\displaystyle\int\limits_0^2f(x)\text{d}x-\displaystyle\int\limits_1^2f(x)\text{d}x=3-1=2$.

Câu 42. Cho Số phức $ z=x+yi\,\,\left(x,y\in\mathbb{R}\right)$ thỏa mãn $ z+2+i=\left| z\right|\left(1+i\right)$ và $\left| z\right|>3$. Giá trị của biểu thức $ S=2x-3y$ là
A. $-6$.
B. $-3$.
C. $ 6$.
D. $ 3$.

Lời giải câu 42

Ta có: $ z+2+i=\left| z\right|\left(1+i\right)\Leftrightarrow z=\left(\left| z\right|-2\right)+\left(\left| z\right|-1\right)i\,\,\,\,\,\,\,(*)$
Môđun hai vế của $(*)$ ta được:
$\left| z\right|=\sqrt{\left(\left| z\right|-2\right)^2+\left(\left| z\right|-1\right)^2}\Leftrightarrow{\left| z\right|^2}=\left(\left| z\right|-2\right)^2+\left(\left| z\right|-1\right)^2\Leftrightarrow{\left| z\right|^2}-6\left| z\right|+5=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} &\left| z\right|=1\,\,(L)\\ &\left| z\right|=5\,\,(N)\\ \end{aligned}\right.$
Thay $\left| z\right|=5$ vào $(*)$ ta được: $ z=3+4i\Rightarrow x=3;\,\,y=4$
Vậy $ S=2x-3y=2.3-3.4=-6$.

Câu 43. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt đáy, $SA=2BC=2a\sqrt{3},AC=a$ và $BAC=120^\circ .$ Hình chiếu vuông góc của $A$ lên các cạnh $SB$ và $SC$ lần lượt là $M$ và $N$ . Thể tích của khối đa diện $AMNCB$ bằng
A. $\dfrac{24}{169}{a^3}$ .
B. $\dfrac{25}{338}{a^3}$.
C. $\dfrac{25}{169}{a^3}$.
D. $\dfrac{12}{169}{a^3}$.

Lời giải câu 43

\includegraphics[scale=0.2]{"IMG_De_thi_thu_chuyen_ha_tinh_2021/img-11"} Đặt $AB=x.$ Tam giác $ABC$ có:
$\begin{aligned} & B{C^2}=A{C^2}+A{B^2}-2AB.AC.\text{cos 120}^\circ\\ &\Rightarrow 3a^2=a^2+x^2-2ax.\dfrac{1}{2}\\ &\Rightarrow{x^2}+ax-2a^2=0\\ &\Rightarrow x=a\\ \end{aligned}$
Diện tích tam giác $ABC$ : $S=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin 120^\circ=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}.$
Thể tích khối chóp $S.ABC$ : $V=\dfrac{1}{3}.2a\sqrt{3}.\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a^3}{2}.$
Tam giác $SAB$ có: $S{B^2}=S{A^2}+A{B^2}=13a^2$ $\Rightarrow\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{S{A^2}}{S{B^2}}=\dfrac{12}{13}.$
Do $SAB=SAC$ nên $\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{12}{13}.$ $\Rightarrow\dfrac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}}=\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{144}{169}.$
Vậy, thể tích khối đa diện $AMNCB$ là:
$V_{AMNCB}=V_{S.ABC}-V_{S.AMN}=V_{S.ABC}\left(1-\dfrac{144}{169}\right)=\dfrac{25a^3}{338}.$

Câu 44. Trong không gian $ Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z}{2}$ và $d_2:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z}{1}$. Đường thẳng $ d$ đi qua điểm $ A\left(1;0;1\right)$ lần lượt cắt $d_1,d_2$ tại $ B$ và $ C.$ Độ dài $ BC$ bằng
A. $\dfrac{7\sqrt{6}}{4}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{7\sqrt{6}}{2}$.

Lời giải câu 44

Do $ B\in{d_1}:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z}{2}\Rightarrow B\left(1+m;-1-m;2m\right)$
$ C\in{d_2}:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z}{1}\Rightarrow C\left(n;1+2n;n\right)$
$\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(m;-1-m;2m-1\right),\overrightarrow{AC}=\left(n-1;1+2n;n-1\right)$
Ta có $ A,B,C$ thẳng hàng $\Rightarrow\exists k\in\mathbb{R}:\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$
$\Rightarrow\left\{\begin{aligned} & m=k\left(n-1\right)\\ &-1-m=k\left(1+2n\right)\\ & 2m-1=k\left(n-1\right)\\ \end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned} & kn=m+k\\ &-1-m=2m+3k\\ & 2m-1=m\\ \end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned} & n=\dfrac{1}{4}\\ & k=-\dfrac{4}{3}\\ & m=1\\ \end{aligned}\right.$
$\Rightarrow B\left(2;-2;2\right),C\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{4}\right)\Rightarrow BC=\sqrt{\left(\dfrac{1}{4}-2\right)^2+\left(\dfrac{3}{2}+2\right)^2+\left(\dfrac{1}{4}-2\right)^2}=\dfrac{7\sqrt{6}}{4}$.

Câu 45. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $ m$ để bất phương trình $\dfrac{\log_3^2x-3\log_3x+2}{\sqrt{m-2^x}}< 0$ có không quá $ 3$ nghiệm nguyên dương?
A. $127$ .
B. $128$.
C. $63$.
D. $64$.

Lời giải câu 45

Điều kiện của bất phương trình $\left\{\begin{matrix} x>0
m-2^x>0
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x>0
{2^x}< m
\end{matrix}\right.$ (*).
Với $ m=1$ không tồn tại $ x>0$ để bất phương trình tồn tại. Do đó $ m=1$ thỏa mãn.
Với điều kiện trên bất phương trình tương đương $\log_3^2x-3\log_3x+2< 0\Leftrightarrow 3< x< 9$ (**).
Kết hợp điều kiện (*) và (**) ta được $\left\{\begin{matrix} 3< x< 9
\begin{aligned} &{2^x}< m\\ & m>1\\ \end{aligned}
\end{matrix}\right.$.
Khi đó bài yêu cầu của bài toán trở thành. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $ m>1$ để bất phương trình $2^x< m$ (***) có không quá $ 3$ nghiệm nguyên $ 3< x< 9$
Xét hàm số $ f(x)=2^x$, có $f'(x)=2^x\ln 2>0,\,\,\forall x$.
BBT \includegraphics[scale=0.2]{"IMG_De_thi_thu_chuyen_ha_tinh_2021/img-12"} TH1: $ 1< m\le 8$ bất phương trình (***) vô nghiệm. (thỏa mãn yêu cầu bài toán)
$\Rightarrow\,m\in\left\{ 2,3,4,...,8\right\}$ có $ 7$ giá trị $ m$.
TH2: $ 8< m\le{2^7}\Leftrightarrow 8< m\le 128$ bất phương trình (***) có không quá 3 nghiệm nguyên dương thuộc $\left(3;\,9\right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
$\Rightarrow m\in\left\{ 9,10,11,...,128\right\}$ có 120 giá trị $ m$.
Vậy có tổng công $ 128$ giá trị nguyên dương của tham số $ m$.

Câu 46. Trong không gian $ Oxyz$, cho mặt cầu $(S):\,\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2+z^2=4$ và điểm $ A\left(-1;1;1\right)$, $ B\left(2;-2;1\right)$. Điểm $ M$ di chuyển trên mặt cầu $(S)$. Giá trị lớn nhất của $\left| 2MA-3MB\right|$ đạt được là
A. $\sqrt{65}$.
B. $\sqrt{67}$.
C. $\sqrt{69}$.
D. $\sqrt{61}$.

Lời giải câu 46

\includegraphics[scale=0.2]{"IMG_De_thi_thu_chuyen_ha_tinh_2021/img-13"} Mặt cầu $(S)$ có tâm $ I\left(1;-1;0\right)$, bán kính $ R=2$.
$ IA=3>R,\,IB=\sqrt{3}< R$$\Rightarrow $ $ A$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$ còn $ B$ nằm trong mặt cầu $(S)$.
Ta tìm điểm $ K$ thỏa mãn: $ 2MA=3MK$. Khi đó ta có $\dfrac{MA}{MK}=\dfrac{3}{2}=\dfrac{IA}{IM}$.
$\Delta IAM$ và $\Delta IMK$ có $\widehat{I}$ chung và $\dfrac{MA}{IA}=\dfrac{MK}{IM}$ nên $\Delta IAM\sim\Delta IMK$. Suy ra $\overrightarrow{IK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{IA}$. Từ đó suy ra $ K\left(\dfrac{1}{9};\,-\dfrac{1}{9};\,\dfrac{4}{9}\right)$
Ta có $\left| 2MA-3MB\right|=\left| 3MK-3MB\right|=3\left| MK-MB\right|\le 3BK$.
Vậy $ max\left| 2MA-3MB\right|=3BK=\sqrt{67}$.

Câu 47. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số $ m$ để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất?
$\log_{\dfrac{1}{m}}\left(\sqrt{x^2+mx+5}+1\right).\log_5\left(x^2+mx+6\right)+\log_m3\ge 0$
A. $ 4$.
B. $ 1$.
C. $ 2$.
D. $ 3$.

Lời giải câu 47

Điều kiện: $\left\{\begin{matrix} 0< m\ne 1
{x^2}+mx+5\ge 0
\end{matrix}\right.$.
Bất phương trình có nghiệm duy nhất suy ra phương trình $\log_{\dfrac{1}{m}}\left(\sqrt{x^2+mx+5}+1\right).\log_5\left(x^2+mx+6\right)+\log_m3=0\,(1)$ có nghiệm duy nhất.
Nhận xét: Nếu $x_0$ là nghiệm của phương trình thì $-m-x_0$ cũng là nghiệm phương trình.
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất thì $-\dfrac{m}{2}$ cũng là nghiệm của phương trình.
Suy ra $\log_m\left(\sqrt{5-\dfrac{m^2}{4}}+1\right){\log_5}\left(6-\dfrac{m^2}{4}\right)=\log_m3\Leftrightarrow{\log_3}\left(\sqrt{5-\dfrac{m^2}{4}}+1\right){\log_5}\left(6-\dfrac{m^2}{4}\right)=1$
Đặt $ t=\log_3\left(\sqrt{5-\dfrac{m^2}{4}}+1\right),t>0$ta có $\left(3^t-1\right)^2=5^{\dfrac{1}{t}}-1$. Vì hàm số $ y=\left(3^t-1\right)^2$ là hàm số tăng trên $\left(0;+\infty\right)$ và hàm số $ y=5^{\dfrac{1}{t}}-1$ giảm trên $\left(0;+\infty\right)$ nên phương trình có nghiệm duy nhất $ t=1$. Suy ra $ m=2$. Thử lại trực tiếp ta có $ m=2$ thỏa.

Câu 48. Cho hình $ H$giới hạn bởi đồ thị của hàm số bậc $ 2$(nét mảnh) và đồ thị hàm số bậc $ 3$(nét đậm) như hình vẽ. \includegraphics[scale=0.2]{"IMG_De_thi_thu_chuyen_ha_tinh_2021/img-14"} Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình $ H$ quanh trục $ Ox$ là
A. $\dfrac{1024\pi}{35}$.
B. $\dfrac{4096}{35}$.
C. $\dfrac{5017\pi}{35}$.
D. $\dfrac{4096\pi}{35}$.

Lời giải câu 48

Gọi $(P):y=a{x^2}$. Vì $ A\left(4;16\right)\in(P)\Rightarrow a=1\Rightarrow(P):y=x^2$.
Gọi hàm số bậc ba có dạng là $ y=a{x^2}\left(x-m\right)$. Theo giả thiết ta có $\left\{\begin{matrix} -4=a{2^2}\left(2-m\right)
16=a{4^2}\left(4-m\right)
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 8a-4am=-4
64a-16am=16
\end{matrix}\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a=1
m=3
\end{matrix}\right.\right.$
Suy ra hàm số bậc có dạng là $ y=x^2\left(x-3\right)$.
Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là $ V=\pi\displaystyle\int\limits_0^2\left(x^2\left(x-3\right)\right)^2\text{d}x+\pi\displaystyle\int\limits_2^4x^4\text{d}x-\pi\displaystyle\int\limits_3^4\left(x^2\left(x-3\right)\right)^2\text{d}x=\dfrac{5017\pi}{35}$.

Câu 49. Cho số phức $ z$ thay đổi thỏa mãn $\left|\sqrt{3}z+i\right|=2.$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ S=\left| z-1\right|+\left| z+1\right|+\left| z+\sqrt{3}i\right|$ là
A. $\dfrac{4}{\sqrt{3}}$.
B. $\dfrac{16}{\sqrt{3}}$.
C. $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$.
D. $\dfrac{8}{\sqrt{3}}$.

Lời giải câu 49

Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z.
$\left|\sqrt{3}z+i\right|=2\Leftrightarrow\left| z+\dfrac{i}{\sqrt{3}}\right|=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\Rightarrow M(z)$ thuộc đường tròn tâm $ I\left(0;-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right);R=\dfrac{2}{\sqrt{3}}.$
Gọi $ A\left(1;0\right),B\left(-1;0\right),C\left(0;-\sqrt{3}\right).$ Ta thấy $ A,B,C\in\left(I;R\right).$ \includegraphics[scale=0.2]{"IMG_De_thi_thu_chuyen_ha_tinh_2021/img-15"} Ta có $ S=MA+MB+MC.$
Lại có $\Delta ABC$ đều.
Không mất tính tổng quát, giả sử $ M$thuộc cung nhỏ AB.
Theo định lý Ptoleme, ta có $ AB.MC=AC.MB+BC.MA\Leftrightarrow MC=MA+MB$ (do $\Delta ABC$đều).
$\Rightarrow S=MA+MB+MC=2MC\le 2.2R=\dfrac{8}{\sqrt{3}}.$
Dấu “=” xảy ra khi $ M,I,C$ thẳng hàng.

Câu 50. Cho hàm số $ y=x^3-\left(m+2\right){x^2}-\left(2m+13\right)x-m-2$ có đồ thị $\left(C_m\right),$ đường thẳng $ d:y=mx+m+8$ và điểm $ I\left(1;4\right).$ Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m, biết rằng đường thẳng d cắt đồ thị $\left(C_m\right)$ tại ba điểm phân biệt A, B, C với A có hoành độ bằng $-2$ và tam giác IAB cân tại I.
A. $-12$.
B. $-6$.
C. $-4$.
D. $-10$.

Lời giải câu 50

Xét phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-\left(m+2\right){x^2}-\left(2m+13\right)x-m-2=mx+m+8.$
$x^3-\left(m+2\right){x^2}-\left(3m+13\right)x-2m-10=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} & x=-2\\ & x=-1\\ & x=m+5\\ \end{aligned}\right..$
Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} & m+5\ne-2\\ & m+5\ne-1\\ \end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} & m\ne-7\\ & m\ne-6\\ \end{aligned}\right..$
Khi đó $ A\left(-2;-m+8\right),$$ B\left(-1;8\right),C\left(m+5;{m^2}+6m+8\right).$
Để I, B, C lập thành tam giác $\Leftrightarrow I\notin d\Rightarrow 2m+8\ne 4\Leftrightarrow m\ne-2.$
Gọi $ M\left(\dfrac{m+4}{2};\dfrac{m^2+6m+16}{2}\right)$ là trung điểm của BC.
$\Rightarrow\overrightarrow{IM}=\left(\dfrac{m+2}{2};\dfrac{m^2+6m+8}{2}\right).$
$ d:y=mx+m+8\Rightarrow mx-y+m+8=0.$
$\Rightarrow\overrightarrow{n_d}=\left(m;-1\right)\Rightarrow\overrightarrow{u_d}=\left(1;m\right).$
Do tam giác IBC cân nên $ IM\perp BC\Rightarrow IM\perp d.$
$\Rightarrow\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{u_d}=0\Leftrightarrow 1\left(m+2\right)+m\left(m^2+6m+8\right)=0$
$\Leftrightarrow{m^3}+6m^2+9m+2=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} & m=-2-\sqrt{3}(n)\\ & m=-2+\sqrt{3}(n)\\ & m=-2(l)\\ \end{aligned}\right.$
$\Rightarrow\sum{m}=-4.$

   Số câu đúng   

No comments:

Post a Comment