KOTIMART

Chia sẻ tài liệu Toán THPT Quốc Gia

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2021 - Ninh Bình





LUYỆN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NINH BÌNH (ONLINE) LỜI GIẢI CHI TIẾT


Câu 1. Phương trình $z^{2}-2 z+2=0$ có các nghiệm phức $z_1,\,z_2$ . Tính $F=\left|z_1\right|+\left|z_2\right|$ .
A. $F=1$ .
B. $F=2\sqrt{2}$.
C. $F=2$.
D. $F=\sqrt{2}$.

Lời giải câu 1

Ta có $z^2-2z+2=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} &{z_1}=1+i\\ &{z_2}=1-i\\ \end{aligned}\right.$ .
$\Rightarrow F=\left|z_1\right|+\left|z_2\right|=\left| 1+i\right|+\left| 1-i\right|=2\sqrt{2}$ .

Câu 2. Nghiệm của phương trình $\log_2\left(4-x\right)=1$ là
A. $x=3$ .
B. $x=2$.
C. $x=1$.
D. $x=-2$.

Lời giải câu 2

Ta có $\log_2\left(4-x\right)=1\Leftrightarrow 4-x=2\Leftrightarrow x=2$ .
Nghiệm của phương trình $\log_2\left(4-x\right)=1$ là $x=2$ .

Câu 3. Có bao nhiêu cách xếp $6$ bạn nam và $4$ bạn nữ vào $10$ ghế kê thành hàng ngang?
A. $6!.4!$.
B. $6!+4!$ .
C. $10!$.
D. $88400$.

Lời giải câu 3

Số cách xếp $6$ bạn nam và $4$ bạn nữ vào $10$ ghế kê thành hàng ngang là $10!$ .

Câu 4. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?

A. $y=2x^4-4x^2+1$ .
B. $y=-2x^4+4x^2+1$.
C. $y=2x^3-3x+1$.
D. $y=-2x^3+3x+1$.

Lời giải câu 4

Từ hình vẽ ta thấy đây là đồ thị hàm trùng phương $y=a{x^4}+b{x^2}+c$ Lại thấy $\underset{x\to\pm\infty}{\lim}\,y=-\infty $ nên $a< 0$

Câu 5. Với $x$ là số thực dương tùy ý, $\dfrac{x\sqrt{x^3}}{\sqrt[3]{x}}$ bằng
A. $x^{\dfrac{7}{6}}$.
B. $x^{\dfrac{5}{6}}$.
C. $x^{\dfrac{11}{6}}$ .
D. $x^{\dfrac{13}{6}}$.

Lời giải câu 5

Ta có $\dfrac{x\sqrt{x^3}}{\sqrt[3]{x}}$ $=\dfrac{x.x^{\dfrac{3}{2}}}{x^{\dfrac{1}{3}}}=\dfrac{x^{\dfrac{5}{2}}}{x^{\dfrac{1}{3}}}=x^{\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{3}}=x^{\dfrac{13}{6}}$ .

Câu 6. Đồ thị hàm số nào sau đây cắt trục tung tại điểm có tung độ âm?
A. $y=\dfrac{4x+1}{x+2}$ .
B. $y=\dfrac{3x+4}{x-1}$.
C. $y=\dfrac{-2x+3}{x+1}$.
D. $y=\dfrac{2x-3}{x-1}$.

Lời giải câu 6

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có hoành độ $x=0$ , do đó thay $x=0$ vào các hàm số đã cho ta nhận thấy đáp án B thỏa mãn với $y=-4$ .

Câu 7. Cho số phức $z=3+2i$ . Giá trị của $z.\overline{z}$ bằng
A. $9$.
B. $\sqrt{13}$ .
C. $13$.
D. $5$.

Lời giải câu 7

Ta có $z.\overline{z}=\left| z\right|^2=3^2+2^2=13$ .

Câu 8. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=3x^2-\sin x$ là
A. $3x^3-\cos x+C$ .
B. $x^3+\cos x+C$.
C. $3x^3+\cos x+C$.
D. $x^3-\cos x+C$.

Lời giải câu 8

Ta có $\displaystyle\int{f(x)dx}=\displaystyle\int{\left(3x^2-\sin x\right)dx}=x^3+\cos x+C$ .

Câu 9. Biết điểm biểu diễn của hai số phức $z_1$ và $z_2$ lần lượt là các điểm $M$ và $N$ như hình vẽ. Số phức $z_1+z_2$ có phần ảo bằng

A. $-1$.
B. $1$.
C. $2$ .
D. $-4$.

Lời giải câu 9

Dựa vào hình vẽ, ta có $z_1=3-i$ , $z_2=-1-3i$ suy ra $z_1+z_2=2-4i$ .
Phần ảo của số phức $z_1+z_2$ là $-4$ .

Câu 10. Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ song song với trục $Oy$ . Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là
A. $\vec{u}_1=\left(2021\,;\,0\,;\,0\right)$.
B. $\vec{u}_3=\left(0\,;0\,;\,2021\right)$.
C. $\vec{u}_2=\left(0;2021;0\right)$.
D. $\vec{u}_4=\left(2021;0;2021\right)$.

Lời giải câu 10

Vì $d$ song song với trục $Oy$ nên vectơ chỉ phương của $d$ cùng phương với$\overrightarrow{j}=\left(0;1;0\right)$ .
Do vậy .

Câu 11. Đạo hàm của hàm số $y=e^{2x}$ là
A. $y'=\dfrac{e^{2x}}{2}$ .
B. $y'=2.e^{2x}$.
C. $y'=2x.e^{2x-1}$.
D. $y'=e^{2x}.\ln 2$.

Lời giải câu 11

Ta có $y'=2.e^{2x}$ .

Câu 12. Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):{\left(x-2\right)^2}+\left(y+1\right)^2+\left(z-3\right)^2=16$ . Tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính của mặt cầu.
A. $I\left(2;-1;3\right);\,R=16$.
B. $I\left(-2;1;-3\right);\,R=4$ .
C. $I\left(2;-1;3\right);\,R=4$.
D. $I\left(-2;1;-3\right);\,R=16$.

Lời giải câu 12

Tâm $I\left(2;-1;3\right)\,$ và $R=4$ .

Câu 13. Tìm $\left| z\right|$ biết $z=-3-i$ .
A. $\left| z\right|=\sqrt{5}$.
B. $\left| z\right|=4$.
C. $\left| z\right|=2$ .
D. $\left| z\right|=\sqrt{10}$.

Lời giải câu 13

Ta có $\left| z\right|=\sqrt{\left(-3\right)^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt{10}$ .

Câu 14. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[0;2\right]$ , $f(0)=1$ và $\displaystyle\int\limits_0^2f'(x)dx=-3$ . Tính $f(2)$ ?
A. $f(2)=-4$.
B. $f(2)=4$ ..
C. $f(2)=-2$.
D. $f(2)=-3$.

Lời giải câu 14

$\displaystyle\int\limits_0^2f'(x)dx=\left. f(x)\right|_0^2=f(2)-f(0)=f(2)-1=-3\Rightarrow f(2)=-2$ .

Câu 15. Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trong khoảng nào dưới đây?

A. $\left(-\infty ;0\right)$.
B. $\left(-2;2\right)$ .
C. $\left(0;2\right)$.
D. $\left(2;+\infty\right)$.

Lời giải câu 15

Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$ ta thấy hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $\left(0;2\right)$ .

Câu 16. Thể tích của khối cầu có bán kính bằng 6 là
A. $48\pi $ .
B. $288\pi $.
C. $36\pi $.
D. $144\pi $.

Lời giải câu 16

Ta có $V=\dfrac{4}{3}\pi{r^3}=288\pi $ .

Câu 17. Trong không gian $Oxyz$ , cho vecto $\overrightarrow{a}=-3\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}$ . Tọa độ của vecto $\overrightarrow{a}$ là
A. $\left(0;-4;3\right)$.
B. $\left(0;3;4\right)$ .
C. $\left(0;-3;4\right)$.
D. $\left(-3;0;4\right)$.

Lời giải câu 17

Ta có $\overrightarrow{a}=0.\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}\Rightarrow\overrightarrow{a}=\left(0;-3;4\right)$ .

Câu 18. Một khối chóp đáy là hình vuông có cạnh bằng $5$ và chiều cao của hình chóp bằng $6$ . Thể tích của khối chóp đó bằng
A. $150$.
B. $10$ .
C. $50$.
D. $30$.

Lời giải câu 18

Ta có $V=\dfrac{1}{3}Bh=\dfrac{1}{3}{5^2}.6=50$ .

Câu 19. Tập nghiệm của bất phương trình $\log_2\left(x^2-4x\right)\le{\log_2}\left(5x\right)$ là
A. $\left(4;9\right]$.
B. $\left[9;+\infty\right)$.
C. $\left(0;9\right]$.
D. $\left[0;9\right]$.

Lời giải câu 19

ĐK: $\left\{\begin{aligned} &{x^2}-4x>0\\ & 5x>0\\ \end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} &\left[\begin{aligned} & x>4\\ & x< 0\\ \end{aligned}\right.
& x>0
\end{aligned}\right.\Leftrightarrow x\in\left(4;+\infty\right)$ $(*)$ .
$\log_2\left(x^2-4x\right)\le{\log_2}\left(5x\right)\Leftrightarrow{x^2}-4x\le 5x\Leftrightarrow 0\le x\le 9\Rightarrow x\in\left[0;9\right]$ .
Kết hợp với đk $(*)$ ta có $x\in\left(4;9\right]$ là nghiệm của bất phương trình.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đa cho là:$\left(4;9\right]$ .

Câu 20. Một tổ có $6$ học sinh nam và $4$ học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên $4$ học sinh. Xác suất để trong $4$ học sinh được chọn luôn có học sinh nữ là
A. $\dfrac{1}{14}$.
B. $\dfrac{1}{210}$.
C. $\dfrac{209}{210}$ .
D. $\dfrac{13}{14}$.

Lời giải câu 20

Từ $6$ học sinh nam và $4$ học sinh nữ chọn ngẫu nhiên $4$ học sinh có $C_{10}^4$ cách chọn.
Số phần tử không gian mẫu là $n\left(\Omega\right)=C_{10}^4=210$ .
Gọi $A$ là biến cố “ $4$ học sinh được chọn luôn có học sinh nữ ”,$n(A)=C_{10}^4-C_6^4=195$ .
Vậy $P(A)=\dfrac{195}{210}=\dfrac{13}{14}$ .

Câu 21. Cho hàm số $f(x)=2\text{e}^{2x-1}+\dfrac{1}{x}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x}=\text{e}^{2x-1}-\dfrac{1}{x^2}+C$.
B. $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x}=4\text{e}^{2x-1}-\dfrac{1}{x^2}+C$.
C. $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x}=2\text{e}^{2x-1}+\ln\left| x\right|+C$ .
D. $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x}=\text{e}^{2x-1}+\ln\left| x\right|+C$.

Lời giải câu 21

Ta có: $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x}=\displaystyle\int{\left(2\text{e}^{2x-1}+\dfrac{1}{x}\right)\text{d}x}$ $=\displaystyle\int{\text{e}^{2x-1}\text{d}\left(2x-1\right)}+\displaystyle\int{\dfrac{1}{x}\text{d}x}$ $=\text{e}^{2x-1}+\ln\left| x\right|+C$ .

Câu 22. Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $I\left(2\,;\,1\,;\,1\right)$ và mặt phẳng $(P):2x-y+2z+1=0$ . Phương trình mặt cầu tâm $I$ tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ là
A. $\left(x+2\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z+1\right)^2=2$ .
B. $\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=4$.
C. $\left(x+2\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z+1\right)^2=4$.
D. $\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=2$.

Lời giải câu 22

Ta có mặt cầu tâm $I$ tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$
$\Rightarrow d\left(I;(P)\right)=R_C$ $\Leftrightarrow\dfrac{\left| 2.2-1.1+2.1+1\right|}{\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2+2^2}}=2=R_C$ .
Phương trình mặt cầu tâm $I\left(2\,;\,1;\,1\right)$ bán kính $R_C=2$ là:
$\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=4$ .

Câu 23. Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng $(P)$ cắt ba trục tọa độ tại ba điểm phân biệt tạo thành một tam giác có trọng tâm $G\left(3\,;\,2\,;\,-1\right)$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:
A. $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}-\dfrac{z}{1}=1$.
B. $\dfrac{x}{9}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{3}=1$.
C. $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{1}=1$ .
D. $\dfrac{x}{9}+\dfrac{y}{6}-\dfrac{z}{3}=1$.

Lời giải câu 23

Gọi mặt phẳng $(P)$ cắt các trục $Ox$ , $Oy$ , $Oz$ lần lượt tại ba điểm $A\left(a;\,0\,;\,0\right)$ ; $B\left(0\,;b\,;0\right)$ ; $C\left(0\,;\,0\,;\,c\right)$ $\left(a;\,b;\,c\ne 0\right)$ .
$\Rightarrow $ Phương trình mặt phẳng $(P)$ : $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$ .
Vì $G\left(3\,;\,2\,;\,-1\right)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ $\Rightarrow\left\{\begin{aligned} &{x_G}=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ &{y_G}=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\\ &{z_G}=\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3}\\ \end{aligned}\right.$ $\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} & a=9\\ & b=6\\ & c=-3\\ \end{aligned}\right.$ .
$\Rightarrow $ Phương trình mặt phẳng $(P):\dfrac{x}{9}+\dfrac{y}{6}-\dfrac{z}{3}=1$ .

Câu 24. Đồ thị của hàm số $y=\dfrac{x^2-1}{3-2x-5x^2}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
A. $0$ .
B. $1$.
C. $2$.
D. $3$.

Lời giải câu 24

Ta có $-5x^2-2x+3=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} & x=-1\\ & x=\dfrac{3}{5}\\ \end{aligned}\right.$ .
Với $x=-1$ thì $x^2-1=0$ nên đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là $x=\dfrac{3}{5}$ .

Câu 25. Xét phương trình $4^x-3.2^{x+1}+8=0$ . Biết phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ . Giá trị của biểu thức $x_1+x_2$ bằng
A. $3$.
B. $2$.
C. $6$.
D. $8$.

Lời giải câu 25

Đặt $2^x=t(t>0)$ , phương trình trở thành $t^2-6t+8=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} & t=4(TM)\\ & t=2(TM)\\ \end{aligned}\right.$
$t_1=4\Leftrightarrow{2^{x_1}}=4\Leftrightarrow{x_1}=2$ .
$t_2=2\Leftrightarrow{2^{x_2}}=2\Leftrightarrow{x_2}=1$ .
Vậy $x_1+x_2=3$ .

Câu 26. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=x^3-8x^2+16x-9$ trên đoạn $\left[1;3\right]$ .
A. $\underset{\left[1;3\right]}{\max}\,f(x)=\dfrac{13}{27}$.
B. $\underset{\left[1;3\right]}{\max}\,f(x)=0$.
C. $\underset{\left[1;3\right]}{\max}\,f(x)=5$.
D. $\underset{\left[1;3\right]}{\max}\,f(x)=-6$.

Lời giải câu 26

Xét hàm số $f(x)=x^3-8x^2+16x-9$ trên đoạn $\left[1;3\right]$ .
Ta có $f'(x)=3x^2-16x+16$ .
Xét $3x^2-16x+16=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} & x=4\\ & x=\dfrac{4}{3}.\\ \end{aligned}\right.$
Dễ thấy $\dfrac{4}{3}\in\left[1;3\right]$ nên
$\underset{\left[1;3\right]}{\max}\,f(x)=\max\left\{ f(1),f(3),f\left(\dfrac{4}{3}\right)\right\}$ .
Mà $f(1)=0$ ; $f(3)=-6$ ; $f\left(\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{13}{27}$
suy ra $\underset{\left[1;3\right]}{\max}\,f(x)=f\left(\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{13}{27}$ .

Câu 27. Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. $3$ .
B. $1$.
C. $2$.
D. $0$.

Lời giải câu 27

Quan sát bảng biến thiên ta có $\underset{x\to{0^-}}{\lim}\,y=-\infty $ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=0$ .

Câu 28. Xét tích phân $I=\displaystyle\int\limits_0^3\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\text{d}x$ . Với phép đặt $t=\sqrt{x+1}$ tích phân đã cho có dạng
A. $I=\dfrac{4}{3}\displaystyle\int\limits_1^2t\text{d}t$.
B. $I=2\displaystyle\int\limits_1^2\dfrac{\text{d}t}{t}$ .
C. $I=2\displaystyle\int\limits_1^2\text{d}t$.
D. $I=\displaystyle\int\limits_1^2\dfrac{\text{d}t}{t}$.

Lời giải câu 28

Ta có $t^2=x+1$ , suy ra $2t\text{d}t=\text{d}x$ . Với $x=0$ thì $t=1$ , với $x=3$ thì $t=2$ , do đó $I=2\displaystyle\int\limits_1^2\text{d}t$ .

Câu 29. Cho lăng trụ đều $ABC.A'{B}'{C}'$ đáy là tam giác $ABC$ có cạnh bằng $a$ . Biết $A{B}'$ tạo với mặt phẳng $\left(ABC\right)$ một góc có số đo bằng $60^{^\circ}$ . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A. $\dfrac{3\sqrt{3}{a^3}}{4}$ .
B. $\dfrac{3a^3}{4}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}{a^3}}{4}$.
D. $\dfrac{a^3}{4}$.

Lời giải câu 29



Ta có $B{B}'=AB\tan 60^\circ=a\sqrt{3}$ . Do đó
$V=S_{ABC}\cdot B{B}'=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{3}=\dfrac{3a^3}{4}$ .

Câu 30. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng tổng quát là $u_n=3n-2$ . Tìm công sai $d$ của cấp số cộng đó.
A. $d=-3$ .
B. $d=3$.
C. $d=2$.
D. $d=-2$.

Lời giải câu 30

Ta có $u_{n+1}-u_n=3(n+1)-2-(3n-2)=3n+3-2-3n+2=3,\forall n\in\mathbb{N}$ .
Suy ra công sai của cấp số cộng đã cho là $d=3$ .

Câu 31. Tập xác định của hàm số $y=\log_3^\left(5+4\text{x}-x^2\right)$ là
A. $\left[-1;5\right]$ .
B. $\left(-1;5\right)$.
C. $\mathbb{R}\setminus\left\{-1;5\right\}$.
D. $\left(-5;1\right)$.

Lời giải câu 31

Ta có điều kiện xác định: $5+4x-x^2>0\Leftrightarrow-1< x< 5$ . Vậy tập xác định $D=\left(-1;5\right)$ .

Câu 32. Cho khối nón có độ dài đường sinh và chiều cao lần lượt là $l=2\text{a};h=\sqrt{3}a$ , thể tích khối nón bằng
A. $\dfrac{\pi{a^3}\sqrt{2}}{3}$ .
B. $\dfrac{\pi{a^3}\sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{2\pi{a^3}}{3}$.
D. $\dfrac{\pi{a^3}}{3}$.

Lời giải câu 32

Ta có bán kính đáy của khối nón là: $r=\sqrt{l^2-h_^2}=a$ . Do vậy thể tích khối nón bằng $V=\dfrac{1}{3}\pi{r^2}h=\dfrac{\pi{a^3}\sqrt{3}}{3}$ .

Câu 33. Trong các hàm số sau, hàm số nào có 3 điểm cực trị?
A. $y=\dfrac{x+1}{x+2}$ .
B. $y=x^4-2x^2-3$.
C. $y=x^4+2x^2-3$.
D. $y=x^3-3x^2-3x+1$.

Lời giải câu 33

Xét hàm số $y=x^4-2\text{x}^2-3$ có
$T\text{XD}:D=\mathbb{R}$
$y'=4\text{x}^3-4\text{x};y'=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} & x=0\\ & x=\pm 1\\ \end{aligned}\right.$
và $y'$ liên tiếp đổi dấu khi đi qua các điểm $x=0;x=\pm 1$ . Vậy hàm số này có 3 điểm cực trị.

Câu 34. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ , $BC=a$ , $SA\perp\left(ABC\right)$ và $SA=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$ . Số đo góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left(ABC\right)$ bằng
A. $30^0$.
B. $75^0$.
C. $45^0$ .
D. $60^0$.

Lời giải câu 34



Ta có: tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ , $BC=a\Rightarrow AB=AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
$SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow AB$ là hình chiếu của $SB$ lên mặt phẳng $\left(ABC\right)$
$\Rightarrow\widehat{\left(SB;\left(ABC\right)\right)}=\widehat{\left(SB;AB\right)}=\widehat{SBA}$ (do tam giác $SAB$ vuông tại $A$).
Trong tam giác vuông $SAB$ có : $\tan\widehat{SBA}=\dfrac{SA}{AB}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.\dfrac{2}{a\sqrt{2}}=\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{SBA}=60^0.$

Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\,\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z+1}{-1}$ và mặt phẳng $\left(\alpha\right):\,\,x-2y+z-1=0$ . Tọa độ giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left(\alpha\right)$ là
A. $\left(-9;\,-13;\,4\right)$.
B. $\left(3;\,5;\,-2\right)$ .
C. $\left(-1;\,-1;\,0\right)$.
D. $\left(1;\,2;\,-1\right)$.

Lời giải câu 35

Phương trình tham số của đường thẳng $d:\,\left\{\begin{aligned} & x=1+2t\\ & y=2+3t\\ & z=-1-t\\ \end{aligned}\right.$ .
Gọi $K=d\cap\left(\alpha\right).$ Suy ra:
+) $K\in d\Rightarrow K\left(1+2t;\,2+3t;\,-1-t\right).$
+) $K\in\left(\alpha\right)\Rightarrow\left(1+2t\right)-2\left(2+3t\right)+\left(-1-t\right)-1=0\Leftrightarrow-5t-5=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow K\left(-1;\,-1;\,0\right).$

Câu 36. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{2}$ (hình bên). Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SB,SD$ . Số đo của góc tạo bởi mặt phẳng $\left(AHK\right)$ và $\left(ABCD\right)$ bằng
A. $90^o$.
B. $30^o$.
C. $60^o$ .
D. $45^o$.

Lời giải câu 36



Ta có: $\Delta SAB=\Delta SAD\left(c-g-c\right)$
Từ đó suy ra: $AH=AK$ $\Rightarrow $ Tam giác $AHK$ cân tại $A$ . $(1)$
$\dfrac{SH}{SB}=\dfrac{SK}{SC}$ $\Rightarrow $ $HK//BD$ , mà $BD\perp\left(SAC\right)$ $\Rightarrow $ $HK\perp\left(SAC\right)\Rightarrow HK\perp AE$ . $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow $ $AE$ vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến.
Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có:
$\bullet $ $SB=\sqrt{S{A^2}+A{B^2}}=a\sqrt{3}$ ; $AH.SB=SA.AB\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
$\bullet $ $\dfrac{SH}{SB}=\dfrac{S{A^2}}{S{B^2}}=\dfrac{2}{3}$ , mà $HK//BD$ nên $\dfrac{SH}{SB}=\dfrac{HE}{BO}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow HE=\dfrac{2}{3}BO=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$
$\Rightarrow AE=\sqrt{A{H^2}-H{E^2}}=\dfrac{2}{3}a$
$\Rightarrow{S_{\Delta AHK}}=\dfrac{1}{2}AE.HK=\dfrac{1}{2}AE.2HE=\dfrac{2\sqrt{2}}{9}{a^2}$ .
Dựng $HI\,\text{//}\,SA$ và $KF\,\text{//}\,SA$ , khi đó $I,F$ lần lượt là hình chiếu của $H,K$ trên mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ $\Rightarrow $ Tam giác $AIF$ là hình chiếu vuông góc của tam giác $AHK$ trên mặt phẳng đáy.
Ta có: $AF=AI=\dfrac{2}{3}AB=\dfrac{2}{3}a$ $\Rightarrow{S_{\Delta AIF}}=\dfrac{1}{2}AI.AF=\dfrac{2}{9}{a^2}.$
Khi đó: $\cos\alpha=\dfrac{S'}{S}=\dfrac{S_{\Delta AIF}}{S_{\Delta AHK}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow\alpha=45^\circ $ .
Vậy góc tạo bởi mặt phẳng $\left(AHK\right)$ và $\left(ABCD\right)$ bằng $45^o$ .

Câu 37. Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Xét hàm số $g(x)=f\left(2x^3+x-1\right)+m$ . Tìm $m$ để $\underset{\left[0;1\right]}{\max}\,g(x)=-10$ .

A. $m=3$ .
B. $m=-13$.
C. $m=-1$ .
D. $m=-9$.

Lời giải câu 37

Ta có $g'(x)=\left(6x^2+1\right){f}'\left(2x^3+x-1\right)$
$g'(x)=0\Leftrightarrow{f}'\left(2x^3+x-1\right)=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} & u(x)=2x^3+x-1=-1\\ & u(x)=2x^3+x-1=1\\ \end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} & x=0\\ & x=\alpha\in\left(0;1\right)\\ \end{aligned}\right.$
Khi đó:
$\begin{aligned} & g(0)=f\left(-1\right)+m=m+3\\ & g\left(\alpha\right)=f(1)+m=m-1\\ & g(1)=f(2)+m=m+3\\ \end{aligned}$
Vậy $\underset{\left[0;1\right]}{\max}\,g(x)=-10\Leftrightarrow m+3=-10\Leftrightarrow m=-13.$ .

Câu 38. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB=a,BC=2a,SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và$SA=a$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $SB$ bằng
A. $\dfrac{2a}{3}$.
B. $\dfrac{a}{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
D. $\dfrac{a}{3}$.

Lời giải câu 38



Dựng hình bình hành $ACBE$ .
Có $AC//BE\Rightarrow AC//\left(SBE\right)\Rightarrow d\left(AC;SB\right)=d\left(AC;\left(SBE\right)\right)=d\left(A;\left(SBE\right)\right)$ .
Xét từ diện $SABE$ có $SA,AB,AE$ đôi một vuông góc nên
$\dfrac{1}{d^2\left(A;\left(SBE\right)\right)}=\dfrac{1}{A{S^2}}+\dfrac{1}{A{B^2}}+\dfrac{1}{A{E^2}}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{4a^2}=\dfrac{9}{4a^2}\Rightarrow d\left(A;\left(SBE\right)\right)=\dfrac{2a}{3}.$ .

Câu 39. Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+2}{-2}$ và mặt phẳng $(P):\,\,x-2y+z-1=0$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của $\alpha $ để tồn tại một mặt phẳng $(Q)$ chứa $d$ tạo với $(P)$ một góc $\alpha^\circ $ .
A. $75$.
B. $76$ .
C. $77$.
D. $74$.

Lời giải câu 39



Gọi $A=d\cap(P),K$ là một điểm tùy ý trên $d,K\ne A$ . $\Delta $ là giao tuyến của $(P)\,\,v\grave{a}\,\,(Q).$ Gọi $H\,v\grave{a}\,\,I$ lần lượt là hình chiếu của $K$ trên $(P)\,\,v\grave{a}\,\,\Delta .$
Gọi $\varphi\,=\widehat{\left(d;(P)\right)}=\widehat{KAH};\,\,v\grave{a}\,\,\alpha=\widehat{\left((P);(Q)\right)}=\widehat{KIH}$ .
Ta có $KH\le KI\le KA$ , lại có $\sin\alpha=\dfrac{KH}{KI}$ nên $\dfrac{KH}{KA}\le\sin\alpha=\dfrac{KH}{KI}\le\dfrac{KH}{KH}$ $\Leftrightarrow\sin\varphi\le\sin\alpha\le 1.$
Mặt khác $\sin\varphi=\dfrac{\left|\overrightarrow{u_d}.\overrightarrow{n_P}\right|}{\left|\overrightarrow{u_d}\right|.\left|\overrightarrow{n_P}\right|}$ $=\dfrac{\sqrt{6}}{9}$ với $\overrightarrow{u_d}\left(2;1;-2\right)$ là VTCP của đường thẳng $d$ và $\overrightarrow{n_P}\left(1;-2;1\right)$ là VTPT của mặt phẳng$(P)$ .
Do đó $\dfrac{\sqrt{6}}{9}\le\sin\alpha\le 1\Leftrightarrow 15,8^{\circ}\le\alpha\le{90^{\circ}}\overset{\alpha\in\mathbb{Z}}{\mathop{\Rightarrow}}\,\alpha\in\left\{ 16;17;...90\right\}$ . Vậy có 75 số $\alpha $ thỏa mãn.

Câu 40. Biết rằng $\displaystyle\int_0^9f(x)\text{d}x=37$ và $\displaystyle\int_0^3g(3x)\text{d}x=-\dfrac{16}{3}$ , Khi đó $\displaystyle\int_0^9\text\!\![\!\!\text2f(x)+3g(x)\text\!\!]\!\!\text{d}x$ có giá trị là
A. 58.
B. 122.
C. 26.
D. 143.

Lời giải câu 40

Có $\displaystyle\int_0^3g(3x)dx=\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^9g(t)dt=\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^9g(x)\text{d}x=\dfrac{-16}{3}\Rightarrow\displaystyle\int_0^9g(x)\text{d}x=-16$
$\Rightarrow\displaystyle\int_0^9\text\!\![\!\!\text2f(x)+3g(x)\text\!\!]\!\!\text{d}x=2.37+3(-16)=26$ .

Câu 41. Một vật thể $(H)$ có đáy dạng elip với trục lớn $MN=20$ , trục nhỏ $PQ=12$ . Biết rằng cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục lớn ta luôn được thiết diện là nửa lục giác đều. Tính thể tích $V$ của vật thể $(H)$ .


A. $V=450\sqrt{3}$ .
B. $V=360\sqrt{3}$.
C. $V=270\sqrt{3}$.
D. $V=180\sqrt{3}$.

Lời giải câu 41

Áp dụng hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Phương trình elip đáy là $\dfrac{x^2}{100}+\dfrac{y^2}{36}=1$
Xét một điểm thuộc trục lớn có hoành độ $x$ với thiết diện tạo thành là nửa lục giác đều ABCD, ta có $AD=12\sqrt{1-\dfrac{x^2}{100}}$ . Khi đó diện tích nửa lục giác đều ABCD là $S(x)=27\sqrt{3}\left(1-\dfrac{x^2}{100}\right).$
Vậy thể tích vật thể (H) là $V=\displaystyle\int_{-10}^{10}{S}(x)dx=\displaystyle\int_{-10}^{10}{2}7\sqrt{3}\left(1-\dfrac{x^2}{100}\right)dx=360\sqrt{3}.$ .

Câu 42. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn đồng thời $\left| z-1+2i\right|=\sqrt{10}$ và $\dfrac{2z+3-i}{z-i}$ là số thuần ảo?
A. 1.
B. 0.
C. 2.
D. 3.

Lời giải câu 42

Gọi $z=a+bi$
Có $\dfrac{2z+3-i}{z-i}=\dfrac{2(a+bi)+3-i}{a+bi-i}=\dfrac{[2a+3+\left(2b-1\right)i][a-\left(b-1\right)i]}{a^2+\left(b-1\right)^2}$ là số thuần ảo
$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} \left(2a+3\right)a+\left(2b-1\right)\left(b-1\right)=0
\left(a;b\right)\ne\left(0;1\right)
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+3a-3b+1=0$ $(1)$
Có $\left| z-1+2i\right|=\sqrt{10}\Leftrightarrow\left| a-1+\left(b+2\right)i\right|=\sqrt{10}\Leftrightarrow{\left(a-1\right)^2}+\left(b+2\right)^2=10$
$\Leftrightarrow{a^2}+b^2-2a+4b-5=0\Leftrightarrow 2a^2+2b^2=4a-8b+10$ .
Thay vào $(1)$ ta được $4a-8b+10$ $+3a-3b+1=0$ $\Leftrightarrow 7a-11b+11=0\Rightarrow a=\dfrac{11b-11}{7}$
Mà $a^2+b^2-2a+4b-5=0\Leftrightarrow{\left(\dfrac{11b-11}{7}\right)^2}+b^2-2\left(\dfrac{11b-11}{7}\right)+4b-5=0$ $(2)$
Phương trình $(2)$ có hai nghiệm $b=0$ (không t/m) và $b=\dfrac{3}{17}$ (t/m)
Vậy có 1 số phức z thỏa mãn.

Câu 43. Cho phương trình $\log_2^2x-m{\log_2}x< 4-2m$ , với $m$ là tham số. Gọi $n$ là số nghiệm nguyên của phương trình. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương $m$ để $n\in\left[1;251\right]?$
A. $10$.
B. $6$ .
C. $9$.
D. $3$.

Lời giải câu 43

Đặt $t=\log_2x$ , với $x>0$ .
Bất phương trình viết lại: $t^2-mt< 4-2m\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(t-m+2\right)< 0$ $(*)$
TH1: Nếu $2< m-2\Leftrightarrow m>4$ thì $(*)$ $\Leftrightarrow 2< t< m-2$ .
Suy ra $2< \log_2x< m-2\Leftrightarrow $
Tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(4;{2^{m-2}}\right)$ .
Để số nghiệm nguyên của bất phương trình thuộc đoạn $\left[1;251\right]$ thì ta phải có$6\le{2^{m-2}}\le 256\Leftrightarrow 2+\log_26< m\le 10$ .
Mà $m\in{\mathbb{Z}^+}$ nên $(1)$
TH2: Nếu $m-2< 2\Leftrightarrow m< 4$ thì $(*)$ $\Leftrightarrow m-2< t< 2$ .
Suy ra $m-2< \log_2x< 2\Leftrightarrow{2^{m-2}}< x< 4$ .
Tập nghiệm của bất phương trình là $\text{S}=\left(2^{m-2};4\right)$ .
Để số nghiệm nguyên của bất phương trình thuộc đoạn $\left[1;251\right]$ thì ta phải có $2^{m-2}\le 2\Leftrightarrow m\le 3$ .
Mà $m \in \mathbb{Z}^{+}$ nên $m \in\{1 ; 2 ; 3\}$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra có tất cả $9$ giá trị nguyên dương $m$ thỏa mãn yêu cầu đề bài

Câu 44. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có bảng biến thiên như hình vẽ

Số điểm cực trị của hàm số $g(x)=\left| f\left(\left| x\right|\right)-2019\right|$ là
A. $5$.
B. $9$.
C. $3$ .
D. $7$.

Lời giải câu 44

Xét $h(x)=f(x)-2019$ có $h'(x)=f'(x)$ ; $h'(x)=0\Leftrightarrow{f}'(x)=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} & x=-1\\ & x=4\\ \end{aligned}\right.$
Phương trình giao điểm của đồ thị hàm số $y=h(x)$ với trục hoành:
$f(x)-2019=0\Leftrightarrow f(x)=2019\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} & x=a< -1\\ & x=b\,\left(0< b< 4\right)\\ & x=c>4\\ \end{aligned}\right.$
Vậy hàm số $y=\left| h(x)\right|$ có $3$ điểm cực trị dương.
Vậy số điểm cực trị của hàm số $g(x)=\left| h\left(\left| x\right|\right)\right|$ là $2.3+1=7$ .

Câu 45. Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{aligned} &{x^2}\text{+1 khi}x\ge 2\\ & 4x-3\text{khi}x< 2\\ \end{aligned}\right.$ . Tích phân $I=\displaystyle\int\limits_0^{\ln 5}{e^{2x}{f}'\left(e^x\right)}\text{d}x$ bằng
A. $126$ .
B. $84$.
C. $63$.
D. $42$.

Lời giải câu 45

Đặt $t=e^x\Rightarrow\text{d}t=e^x\text{d}x.$ Với $x=0\Rightarrow t=1$ và $x=\ln 5\Rightarrow t=5$ .
Ta có $I=\displaystyle\int\limits_1^5t.f'(t)\text{d}t$ . Đặt $\left\{\begin{aligned} & u=t\\ &\text{d}v=f'(t)\text{d}t\\ \end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned} &\text{d}u=\text{d}t\\ & v=f(t)\\ \end{aligned}\right.$ .
Suy ra $I=\displaystyle\int\limits_1^5t.f'(t)\text{d}t$ $=\left. tf(t)\right|_1^5-\displaystyle\int\limits_1^5f(t)\text{d}t=5f(5)-f(1)-\displaystyle\int\limits_1^2\left(4x-3\right)\text{d}x-\displaystyle\int\limits_2^5\left(x^2+1\right)\text{d}x$
$=130-1-3-42=84$ .

Câu 46. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với đáy, mặt phẳng $\left(SAB\right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left(SBC\right)$ , góc giữa hai mặt phẳng $\left(SAC\right)$ và $\left(SBC\right)$ là $60^0$ , $SB=a\sqrt{2}$ , $\widehat{BSC}=45^0$ . Thể tích khối chóp $S.ABC$ theo $a$ là

A. $V=\dfrac{2a^3\sqrt{3}}{15}$.
B. $V=\dfrac{a^3\sqrt{2}}{15}$.
C. $V=2\sqrt{2}{a^3}$.
D. $V=\dfrac{\sqrt{3}{a^3}}{5}$.

Lời giải câu 46



Do $\left(SAB\right)\perp\left(SBC\right)$ nên trong $\left(SAB\right)$ , từ $A$ kẻ $AH\perp SB\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right).$
Ta có $BC\perp SA,BC\perp AH\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp AB,BC\perp SB.$
Vậy các $\Delta ABC,\,\,\Delta SBC$ vuông tại $B$ .
$\Delta SBC$ vuông cân tại $B$ , suy ra $BC=a\sqrt{2},SC=2a$ .
Đặt $SA=x$ ta có $AC=\sqrt{4a^2-x^2};AB=\sqrt{2a^2-x^2}$ .
Trong $\Delta SAC$ kẻ $AI\perp SC$ , ta có $SC\perp AI,SC\perp AH$ $\Rightarrow SC\perp HI$
$\Rightarrow\left(\left(SAC\right),\left(SBC\right)\right)=\widehat{AIH}=60^\circ $ .
Ta có: $AI=\dfrac{SA.AC}{SC}=\dfrac{x.\sqrt{4a^2-x^2}}{2a}$ và $AH=\dfrac{SA.AB}{SB}=\dfrac{x.\sqrt{2a^2-x^2}}{\sqrt{2}a}$ .
Do $AH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AH\perp HI$ , vậy $\Delta AHI$ vuông tại $H$ có $\widehat{AIH}=60^\circ .$
Ta có:
$\sin 60^\circ=\dfrac{AH}{AI}\Leftrightarrow AH=AI.\sin{60^{\text{o}}}\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{x.\sqrt{4a^2-x^2}}{2a}=\dfrac{x.\sqrt{2a^2-x^2}}{\sqrt{2}a}$
$\Leftrightarrow\sqrt{3}.\sqrt{4a^2-x^2}=2\sqrt{2}.\sqrt{2a^2-x^2}\Leftrightarrow 5x^2=4a^2\Leftrightarrow x=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$ .
Suy ra $SA=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$ ; $AB=\dfrac{a\sqrt{30}}{5}$ và $BC=a\sqrt{2}$ .
Vậy $V_{S.ABC}=\dfrac{1}{6}SA.AB.BC=\dfrac{1}{6}.\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}.\dfrac{a\sqrt{30}}{5}.a\sqrt{2}=\dfrac{2a^3\sqrt{3}}{15}$ .

Câu 47. Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):{x^2}+y^2+z^2=4$ . Trên mặt cầu $(S)$ lấy ba đường tròn $\left(O_1\right),\left(O_2\right),\left(O_3\right)$ cùng bán kính $1$ sao cho chúng đôi một tiếp xúc (có điểm chung duy nhất) như hình vẽ.

Gọi $O_4\left(a;b;c\right)$ là tâm của đường tròn bán kính nhỏ hơn $1$ , tiếp xúc với cả ba đường tròn trên. Nếu $O_1$ thuộc tia $Oz$ và $O_2\in\left(xOz\right)$ , $O_2$ có hoàn độ dương thì $a+b+c$ gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. $3,25$.
B. $3,24$.
C. $3,22$ .
D. $3,23$.

Lời giải câu 47

Gọi $A=\left(O_1\right)\cap\left(O_2\right);\,B=\left(O_2\right)\cap\left(O_3\right);\,C=\left(O_1\right)\cap\left(O_3\right);\,D=O_2C\cap O{O_4}$ .
Ta có tứ diện $O{O_1}{O_2}{O_3}$ là tứ diện đều cạnh bằng $\sqrt{3}$ và $O_1\left(0;0;\sqrt{3}\right)$ , $O_2\left(\dfrac{3}{2};0;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ , $O_3\left(\dfrac{1}{2};\sqrt{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ .

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $O_1O_2O_3$ , ta có $G\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{\sqrt{2}}{3};\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)$ và $OG=\sqrt{2};\,O_2G=1$ .
Do đó, $\overrightarrow{O{O_4}}=k.\overrightarrow{OG}$ với $k=\dfrac{O{O_4}}{OG}=\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}$ .
Vậy $O_4\left(\dfrac{2}{3}k;\dfrac{\sqrt{2}}{3}k;\dfrac{2\sqrt{3}}{3}k\right)$ . Suy ra $a+b+c\approx 3,2288$ .
Cách 2:

Gọi $O_1,\,O_2,\,O_3$ lần lượt là tâm của ba đường tròn bán kính bằng $1$ và $O_4$ là tâm đường tròn cần tìm.
Mặt cầu $(S):{x^2}+y^2+z^2=4$ có tâm $O\left(0;\,0;\,0\right)$ , bán kính $R=2$ .
Gọi $M=\left(O_1\right)\cap\left(O_2\right)$ , ta có $M{O_1}=M{O_2}=1$ và $O{O_1}=O{O_2}=O{O_3}=\sqrt{3}$ .
Để ý rằng $O{O_4}$ là trục của tam giác đều $O_1O_2O_3$ .
Goi $L$ là trong tâm tam giác $O_{1} O_{2} O_{3}$, ta có $O L=\sqrt{2}, O_{2} L=1$. Đồng thời, goi $K=\left(O_{2}\right) \cap\left(O_{4}\right.$ và $N$ là hình chiếu của $K$ lên $O_{2} L$ thì tu $O O_{2} \perp O_{2} K$ nên $\Delta O O_{2} L \sim \Delta O_{2} K N$.
Từ đó suy ra $\dfrac{KN}{O_2L}=\dfrac{O_2K}{O_2O}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow KN=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow $
Ta có $O_1\left(0;\,0;\,\sqrt{3}\right),\,\,O_2\left(\dfrac{3}{2};\,0;\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ . Suy ra $O_3\left(\dfrac{1}{2};\,\sqrt{2};\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right),\,\,L\left(\dfrac{2}{3};\,\dfrac{\sqrt{2}}{3};\,\dfrac{2\sqrt{3}}{2}\right)$
Vậy $O_4\left(\dfrac{6+\sqrt{6}}{9};\,\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{9};\dfrac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{9}\right)$ . Suy ra $a+b+c\approx 3,2288$ .

Câu 48. Cho hàm số $y=a{x^4}+b{x^2}+c$ có đồ thị như hình vẽ. Đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số tại bốn điểm phân biệt (như hình vẽ) với $x_2=2x_1$ .

Gọi $S_1$ là phần diện tích hình phẳng nằm dưới đường thẳng $y=m$ , giới hạn bởi đường thẳng $y=m$ và đồ thị hàm số đã cho. Gọi $S_2$ là phần diện tích hình phẳng nằm trên đường thẳng $y=m$ , giới hạn bởi đường thẳng $y=m$ và đồ thị hàm số đã cho. Tính tỉ số $\dfrac{S_1}{S_2}$ .
A. $\dfrac{19}{8}$.
B. $\dfrac{30}{11}$ .
C. $\dfrac{19}{11}$.
D. $\dfrac{30}{19}$.

Lời giải câu 48

Chọn hàm số $y=-x^4+5x^2-1$ và $m=3$ . Khi đó ta có phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng là $-x^4+5x^2-1=3\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} {x_1}=1
{x_2}=2
\end{matrix}\right.$ .
Khi đó $S_2=2\displaystyle\int\limits_1^2\left(-x^4+5x^2-4\right)dx=\dfrac{44}{15}$ và $S_1=\displaystyle\int\limits_{-1}^1\left(x^4-5x^2+4\right)dx=\dfrac{76}{15}$ . Suy ra $\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{19}{11}$ .
Cách 2:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=a{x^4}+b{x^2}+c$ và đường thẳng $y=m$ là
$\,\,(1)$ , với $c'=c-m$ .
Đặt $t=x^2\ge 0$ ta có phương trình $\,\,\,(2)$
Vì $(1)$ có hai nghiệm $x_1,\,\,x_2$ và $x_2=2x_1$ nên từ $(2)$ ta phải có $\left\{\begin{aligned} &{t_2}=4t_1\\ &{t_1}+t_2=-\dfrac{b}{a}\\ &{t_1}{t_2}=\dfrac{c'}{a}\\ \end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned} &{t_1}=-\dfrac{b}{5a}\\ & a{c}'=\dfrac{4b^2}{25}\\ \end{aligned}\right.$ .
Khi đó $S_1=-2\displaystyle\int\limits_0^{x_1}{\left(a{x^4}+b{x^2}+c'\right)\text{d}x}=-2\left(\dfrac{ax_1^5}{5}+\dfrac{bx_1^3}{3}+c'{x_1}\right)=-\dfrac{19c'{x_1}}{15}$
Và $S_1=2\displaystyle\int\limits_{x_1}^{x_2}{\left(a{x^4}+b{x^2}+c'\right)\text{d}x}=2\left[\left(\dfrac{ax_2^5}{5}+\dfrac{bx_2^3}{3}+c'{x_2}\right)-\left(\dfrac{ax_1^5}{5}+\dfrac{bx_1^3}{3}+c'{x_1}\right)\right]=-\dfrac{11c'{x_1}}{15}$
Vậy $\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{19}{11}$ .

Câu 49. Với các số phức $z_1,\,\,z_2,\,\,z_3=i{z_2}$ thay đổi thỏa mãn $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=5$ thì giá trị lớn nhất của
$\underset{t\in\mathbb{R}}{\min}\,\left| t{z_2}+(1-t){z_3}-z_1\right|$ có dạng $a+\dfrac{b}{\sqrt{c}}$ , ở đó $a,b$ là các số nguyên dương, $c$ là số nguyên tố. Giá trị của $a+b+c$ là
A. $15$ .
B. $12$.
C. $13$.
D. $14$.

Lời giải câu 49



Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z_1,z_2,z_3$ là đường tròn tâm $O$ bán kính $R=5$ .
Gọi các điểm biểu diễn số phức $z_1$ , $z_2$ , $z_3$ lần lượt là $A,\,\,B,\,\,C$ .
Ta có $\Delta OBC$ là tam giác vuông cân tại $O$ và $\left|z_3-z_2\right|=BC=5\sqrt{2}$ .
Số phức $t{z_2}+(1-t){z_3}$ được biểu diễn bởi điểm $M$ thuộc đường thẳng $BC$ .
Do đó, ta có $\left| t{z_2}+(1-t){z_3}-z_1\right|=\left|\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}\right|=AM$ .
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $BC$ ta có $AM\ge AH$ .
$\Rightarrow\underset{t\in\mathbb{R}}{\min}\,\left| t{z_2}+(1-t){z_3}-z_1\right|=\min AM=AH$ .
Khi đó $\max\left\{\underset{t\in\mathbb{R}}{\min}\,\left| t{z_2}+(1-t){z_3}-z_1\right|\right\}=\max\left\{ AH\right\}=ED=R+OD=5+\dfrac{5}{\sqrt{2}}$
Vậy ta có $a=5,\,\,b=5,\,c=2$ .

Câu 50. Có tất cả bao nhiêu số nguyên $a\in\left(-10;10\right)$ sao cho tồn tại số thực $x$ thỏa mãn
$4^{x-2}=\log_22\left(x+a\right)+2a+5$ ?
A. $3$.
B. $9$ .
C. $11$.
D. $8$.

Lời giải câu 50

Với điều kiện $x+a>0$ ta có
$4^{x-2}=\log_2(x+a)+2a+5\Leftrightarrow{2^{2x-4}}+2x-4=\log_22\left(x+a\right)+2\left(x+a\right)$
$\Leftrightarrow\,\,\,\,\,(*)$
Xét hàm số $f(t)=2^t+t$ , ta thấy hàm số luôn đồng biến $\forall t\in\mathbb{R}$ nên
$(*)\Leftrightarrow{2^{2x-4}}=2(x+a)\Leftrightarrow $
Xét hàm số $g(x)=2^{2x-4}-2x$ có $g'(x)=2.2^{2x-4}\ln 2-2$ ; $g'(x)=0\Leftrightarrow $

Vậy để phương trình có nghiệm thì $2a\ge-3,086\Leftrightarrow a\ge-1,543$ .
Vì $a\in\mathbb{Z}\cap\left(-10;10\right)$ nên $a\in\left\{-1;\,\,0;\,\,1;\,\,...\,\,;\,9\right\}$ . Vậy có 11 số nguyên $a$ thỏa mãn.

   Số câu đúng   

No comments:

Post a Comment