KOTIMART

Chia sẻ tài liệu Toán THPT Quốc Gia

Đề thi THPT Quốc Gia 2021 Full Mã Đề (Word + PDF file đẹp lời giải chi tiết)

ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2021 - ĐỀ CHÍNH THỨC








THI ONLINE ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2021 - ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài:

Câu 1. Tập nghiệm của bất phương trình $3^x< 2$ là
A. $\left(-\infty ;{\log_3}2\right)$.
B. $\left(\log_32;\,+\infty\right)$.
C. $\left(-\infty ;{\log_2}3\right)$.
D. $\left(\log_23;\,+\infty\right)$.

Lời giải câu 1


$3^x< 2\Leftrightarrow x< \log_32.$

Câu 2. Nếu $\displaystyle\int\limits_1^4f(x)\text{d}x=3$ và $\displaystyle\int\limits_1^4g(x)\text{d}x=-2$ thì $\displaystyle\int\limits_1^4\left[f(x)-g(x)\right]\text{d}x$ bằng
A. $-1$.
B. $-5$.
C. $ 5$.
D. $ 1$.

Lời giải câu 2


$\displaystyle\int\limits_1^4\left[f(x)-g(x)\right]\text{d}x=\displaystyle\int\limits_1^4f(x)\text{d}x-\displaystyle\int\limits_1^4g(x)\text{d}x=3-\left(-2\right)=5$.

Câu 3. Trong không gian $ Oxyz,\,$cho mặt cầu $(S)$ có tâm $ I\left(1;-4;0\right)$ và bán kính bằng $ 3.$Phương trình của $(S)$ là:
A. $\left(x+1\right)^2+\left(y-4\right)^2+z^2=9$.
B. $\left(x-1\right)^2+\left(y+4\right)^2+z^2=9$.
C. $\left(x-1\right)^2+\left(y+4\right)^2+z^2=3$.
D. $\left(x+1\right)^2+\left(y-4\right)^2+z^2=3$.

Lời giải câu 3


Mặt cầu có tâm $ I\left(1;-4;0\right)$ và bán kính bằng $ 3$ là $\left(x-1\right)^2+\left(y+4\right)^2+z^2=9$.

Câu 4. Trong không gian $ Oxyz,\,$cho đường thẳng $ d$ đi qua điểm $ M\left(3;-1;4\right)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(-2;4;5\right)$. Phương trình của $ d$ là:
A. $\left\{\begin{aligned} & x=-2+3t\\ & y=4-t\\ & z=5+4t\\ \end{aligned}\right.$.
B. $\left\{\begin{aligned} & x=3+2t\\ & y=-1+4t\\ & z=4+5t\\ \end{aligned}\right.$.
C. $\left\{\begin{aligned} & x=3-2t\\ & y=1+4t\\ & z=4+5t\\ \end{aligned}\right.$.
D. $\left\{\begin{aligned} & x=3-2t\\ & y=-1+4t\\ & z=4+5t\\ \end{aligned}\right.$.

Lời giải câu 4


Đường thẳng $ d$ đi qua $ M\left(3;-1;4\right)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(-2;4;5\right)$ là: $\left\{\begin{aligned} & x=3-2t\\ & y=-1+4t\\ & z=4+5t\\ \end{aligned}\right.$.

Câu 5. Cho hàm số $ y=f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. $ 5$.
B. $ 3$.
C. $ 2$.
D. $ 4$.

Lời giải câu 5


Ta thấy $f'(x)=0$ có $ 4$ nghiệm là $ x=-2;\,x=-1;\,x=1;\,x=4$ và $f'(x)$đổi dấu khi qua các nghiệm đó nên hàm số đã cho có $ 4$ điểm cực trị.

Câu 6. Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. $ y=-2x^4+4x^2-1$.
B. $ y=-x^3+3x-1$.
C. $ y=2x^4-4x^2-1$.
D. $ y=x^3-3x-1$.

Lời giải câu 6

Đồ thị hàm số nhận $ Oy$ làm trục đối xứng nên loại đáp án B và
{ Từ đồ thị hàm số ta thấy $\underset{x\to+\infty}{\lim}\,y=-\infty $ nên loại đáp án}

Câu 7. Đồ thị của hàm số $y=-x^4+4x^2-3$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
A. $0$.
B. $3$.
C. $1$ .
D. $-3$.

Lời giải câu 7


Gọi $M\left(x_M;{y_M}\right)$ là giao điểm của đồ thị hàm số $y=-x^4+4x^2-3$ và trục $Oy$
Ta có $x_M=0\Rightarrow{y_M}=-3$ .

Câu 8. Với $n$ là số nguyên dương bất kì, $n\ge 4,$ công thức nào dưới đây đúng?
A. $A_n^4=\dfrac{\left(n-4\right)!}{n!}$.
B. $A_n^4=\dfrac{4!}{\left(n-4\right)!}$.
C. $A_n^4=\dfrac{n!}{4!\left(n-4\right)!}$ .
D. $A_n^4=\dfrac{n!}{\left(n-4\right)!}$.

Lời giải câu 8

Câu 9. Phần thực của số phức $z=5-2i$ bằng
A. $5$.
B. $2$.
C. $-5$.
D. $-2$.

Lời giải câu 9


Phần thực của $z=5-2i$ là $5$ .

Câu 10. Trên khoảng $\left(0;+\infty\right),$ đạo hàm của hàm số $y=x^{\dfrac{5}{2}}$ là
A. $y'=\dfrac{2}{7}{x^{\dfrac{7}{2}}}$.
B. $y'=\dfrac{2}{5}{x^{\dfrac{3}{2}}}$ .
C. $y'=\dfrac{5}{2}{x^{\dfrac{3}{2}}}$.
D. $y'=\dfrac{5}{2}{x^{-\dfrac{3}{2}}}$.

Lời giải câu 10


Ta có trên khoảng $\left(0;+\infty\right)$ $y'=\left(x^{\dfrac{5}{2}}\right)^{\prime}=\dfrac{5}{2}{x^{\dfrac{5}{2}-1}}=\dfrac{5}{2}{x^{\dfrac{3}{2}}}.$

Câu 11. Cho hàm số $f(x)=x^2+4$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x=2x+C}$.
B. $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x=x^2+4x+C}$.
C. $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x=\dfrac{x^3}{3}+4x+C}$.
D. $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x=x^3+4x+C}$.

Lời giải câu 11


$\displaystyle\int{f(x)\text{d}x=\displaystyle\int\limits_{\left(x^2+4\right)}\text{d}x=\dfrac{x^3}{3}+4x+C}$ .

Câu 12. Trong không gian $Oxyz,$ cho điểm $A\left(-2;3;5\right)$ . Tọa độ vectơ $\overrightarrow{OA}$ là
A. $\left(-2;3;5\right)$.
B. $\left(2;-3;5\right)$.
C. $\left(-2;-3;5\right)$.
D. $\left(2;-3;-5\right)$.

Lời giải câu 12


$\overrightarrow{OA}=\left(x_A-x_O{;_A}{y_A}-y_O;{z_A}-z_O\right)\Rightarrow\overrightarrow{OA}=\left(-2;3;5\right)$ .

Câu 13. Cho hàm số $ y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A. $-1$.
B. $ 5$.
C. $-3$.
D. $ 1$.

Lời giải câu 13


Dựa vào BBT ta có giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng $-3$.

Câu 14. Cho hàm số $ y=f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left(0;1\right)$.
B. $\left(-\infty ;0\right)$.
C. $\left(0;+\infty\right)$.
D. $\left(-1;1\right)$.

Lời giải câu 14

Câu 15. Nghiệm của phương trình $\log_3\left(5x\right)=2$ là:
A. $ x=\dfrac{8}{5}$.
B. $ x=9$..
C. $ x=\dfrac{9}{5}$.
D. $ x=8$.

Lời giải câu 15


$\log_3\left(5x\right)=2\Leftrightarrow 5x=3^2\Leftrightarrow x=\dfrac{9}{5}$.

Câu 16. Nếu $\displaystyle\int\limits_0^3f(x)\text{d}x=4$ thì $\displaystyle\int\limits_0^33f(x)\text{d}x$ bằng
A. $ 36$.
B. $ 12$.
C. $ 3$.
D. $ 4$.

Lời giải câu 16


$\displaystyle\int\limits_0^33f(x)\text{d}x=3\displaystyle\int\limits_0^3f(x)\text{d}x=3.4=12$ .

Câu 17. Thể tích của khối lập phương cạnh $ 5a$ bằng
A. $ 5a^3$.
B. $a^3$.
C. $ 125a^3$.
D. $ 25a^3$.

Lời giải câu 17


Thể tích của khối lập phương cạnh $ 5a$ là $ V=\left(5a\right)^3=125a^3$.

Câu 18. Tập xác định của hàm số $ y=9^x$ là
A. $\mathbb{R}$.
B. $\left[0;+\infty\right)$.
C. $\mathbb{R}\setminus\left\{ 0\right\}$.
D. $\left(0;+\infty\right)$.

Lời giải câu 18


Hàm số mũ $ y=a^x$, với $ a$ dương và khác $ 1$ luôn có tập xác định là $\mathbb{R}$.

Câu 19. Diện tích $ S$của mặt cầu bán kính $ R$ được tính theo công thức nào dưới đây?
A. $ S=16\pi{R^2}$.
B. $ y=4\pi{R^2}$.
C. $ S=\pi{R^2}$.
D. $ S=\dfrac{4}{3}\pi{R^3}$.

Lời giải câu 19


Ta có $ S=4\pi{R^2}$.

Câu 20. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $ y=\dfrac{2x-1}{x-1}$ là đường thẳng có phương trình:
A. $ x=1$.
B. $ x=-1$.
C. $ x=2$.
D. $ x=\dfrac{1}{2}$.

Lời giải câu 20


Ta có $\underset{x\to{1^+}}{\lim}\,\dfrac{2x-1}{x-1}=+\infty $ nên đồ thị hàm số$ y=\dfrac{2x-1}{x-1}$có tiệm cận đứng là $ x=1$.

Câu 21. Cho $ a>0$ và $ a\ne 1$, khi đó $\log_a\sqrt[4]{a}$ bằng
A. $ 4$.
B. $\dfrac{1}{4}$.
C. $-\dfrac{1}{4}$.
D. $-4$.

Lời giải câu 21

Do $ a>0$ và $ a\ne 1$ nên$\log_a\sqrt[4]{a}=\log_a{a^{\dfrac{1}{4}}}=\dfrac{1}{4}{\log_a}a=\dfrac{1}{4}$.

Câu 22. Cho khối chóp có diện tích đáy $B=5a^2$ và chiều cao $h=a$ . Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A. $\dfrac{5}{6}{a^3}$.
B. $\dfrac{5}{2}{a^3}$.
C. $5a^3$ .
D. $\dfrac{5}{3}{a^3}$.

Lời giải câu 22

Thể tích của khối chóp đã cho $V=\dfrac{1}{3}.B.h=\dfrac{1}{3}.5a^2.a=\dfrac{5}{3}{a^3}$ .

Câu 23. Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):\,3x-y+2z-1=0$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ ?
A. $\overrightarrow{n_1}=\left(-3;1;2\right)$ .
B. $\overrightarrow{n_2}=\left(3;-1;2\right)$.
C. $\overrightarrow{n_3}=\left(3;1;2\right)$.
D. $\overrightarrow{n_4}=\left(3;1;-2\right)$.

Lời giải câu 23

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P):\,3x-y+2z-1=0$ là $\overrightarrow{n_2}=\left(3;-1;2\right)$ .

Câu 24. Cho khối trụ có bán kính $r=6$ và chiều cao $h=3$. Thể tích khối trụ đã cho băng
A. $108\pi $.
B. $36\pi $.
C. $18\pi $.
D. $54\pi $.

Lời giải câu 24

Thể tích khối trụ đã cho $V=\pi{r^2}h=\pi{6^2}.3=108\pi $ .

Câu 25. Cho hai số phức $ z=4+2i$ và $ w=3-4i$. Số phức $ z+w$ bằng
A. $ 1+6i$.
B. $ 7-2i$.
C. $ 7+2i$.
D. $-1-6i$.

Lời giải câu 25


Ta có: $ z+w=4+2i+3-4i=7-2i$.

Câu 26. Cho cấp số nhân $ (u_n)$ với $u_1=3$ và $u_2=9$. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
A. $-6$.
B. $\dfrac{1}{3}$.
C. $ 3$.
D. $ 6$.

Lời giải câu 26


Công bội $ q=\dfrac{u_2}{u_1}=3$.

Câu 27. Cho hàm số $ f(x)=e^x+2$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x}=e^{x-2}+C$.
B. $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x}=e^x+2x+C$.
C. $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x}=e^x+C$.
D. $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x}=e^x-2x+C$.

Lời giải câu 27


Ta có: $\displaystyle\int{f(x)\text{d}x}=\displaystyle\int{\text(\text{e}^x\text{+2)d}x}=e^x+2x+C$.

Câu 28. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm $ M(-3;4)$ là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?
A. $z_2=3+4i$.
B. $z_3=-3+4i$.
C. $z_4=-3-4i$.
D. $z_1=3-4i$.

Lời giải câu 28


Ta có: $ M(-3;4)$ là điểm biểu diễn của số phức $-3+4i$.

Câu 29. Biết hàm số $ y=\dfrac{x+a}{x+1}$ ($ a$ là số thực cho trước, $ a\ne 1$) có đồ thị như trong hình bên.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $ y'< 0,\,\,\forall x\ne-1$.
B. $ y'>0,\,\,\forall x\ne-1$.
C. $ y'< 0,\,\,\forall x\in\mathbb{R}$.
D. $ y'>0,\,\,\forall x\in\mathbb{R}$.

Lời giải câu 29


Tập xác định: $ D=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$.
Dựa vào đồ thị, ta có: Hàm số $ y=\dfrac{x+a}{x+1}$ đồng biến trên $ (-\infty ;-1)$ và $ (-1;+\infty)$
$\Rightarrow y'>0,\,\,\forall x\ne-1$.

Câu 30. Từ một hộp chứa $ 12$ quả bóng gồm $ 5$ quả màu đỏ và $ 7$ quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời $ 3$ quả. Xác suất để lấy được $ 3$ quả màu xanh bằng
A. $\dfrac{7}{44}$.
B. $\dfrac{2}{7}$.
C. $\dfrac{1}{22}$.
D. $\dfrac{5}{12}$.

Lời giải câu 30


Số phần tử của không gian mẫu là: $ n\left(\Omega\right)=C_{12}^3$.
Biến cố “lấy được ba quả màu xanh” có số phần tử: $ n(A)=C_7^3$
Xác suất cần tìm là: $ P(A)=\dfrac{n(A)}{n\left(\Omega\right)}=\dfrac{7}{44}$.

Câu 31. Trên đoạn $\left[0;3\right]$, hàm số $ y=-x^3+3x$ đạt giá trị lớn nhất tại điểm
A. $ x=0$.
B. $ x=3$.
C. $ x=1$.
D. $ x=2$.

Lời giải câu 31


Ta có: $ y=f(x)=-x^3+3x\Rightarrow{f}'(x)=-3x^2+3$
$y'=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} & x=1\\ & x=-1\notin\left[0;3\right]\\ \end{aligned}\right.$.
Ta có $ f(0)=0;\,\,f(1)=2;\,\,f(3)=-18$.
Vậy hàm số $ y=-x^3+3x$ đạt giá trị lớn nhất tại điểm $ x=1$.

Câu 32. Trong không gian $ Oxyz$, cho điểm $ M\left(-1\,;\,3\,;\,2\right)$ và mặt phẳng $(P):\,x-2y+4z+1=0$. Đường thẳng đi qua $ M$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình là:
A. $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z-2}{1}$.
B. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+3}{-2}=\dfrac{z+2}{1}$.
C. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+3}{-2}=\dfrac{z+2}{4}$.
D. $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z-2}{4}$.

Lời giải câu 32


Đường thẳng đi qua $ M\left(-1\,;\,3\,;\,2\right)$ và vuông góc với $(P)$ có một véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{n_P}=\left(1\,;\,-2\,;\,4\right)$. Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z-2}{4}$.

Câu 33. Cho hình chóp $ S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $ B$, $ AB=2a$ và $ SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ $ C$ đến mặt phẳng $\left(SAB\right)$ bằng
A. $\sqrt{2}a$.
B. $ 2a$.
C. $ a$.
D. $ 2\sqrt{2}a$.

Lời giải câu 33



Ta có: $\left.\begin{aligned} & AB\perp BC\\ & SA\perp BC\\ \end{aligned}\right\}\Rightarrow BC\perp (SAB)$
Suy ra: $ d(C;(SAB))=BC=AB=2a$.

Câu 34. Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $ A\left(1;0;0\right)$ và $ B\left(4;1;2\right)$. Mặt phẳng đi qua $ A$ và vuông góc với $ AB$có phương trình là
A. $ 3x+y+2z-17=0$.
B. $ 3x+y+2z-3=0$.
C. $ 5x+y+2z-5=0$.
D. $ 5x+y+2z-25=0$.

Lời giải câu 34


Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(3;1;2\right)$ $\Rightarrow\overrightarrow{n_{(P)}}=\left(3;1;2\right)$.
Phương trình mặt phẳng đi qua $ A$ và vuông góc với $ AB$ là $ 3\left(x-1\right)+y+2z=0\Leftrightarrow 3x+y+2z-3=0$.

Câu 35. Cho số phức $ z$ thỏa mãn $ iz=5+4i$. Số phức liên hợp của $ z$ là
A. $\overline{z}=4+5i$.
B. $\overline{z}=4-5i$.
C. $\overline{z}=-4+5i$.
D. $\overline{z}=-4-5i$.

Lời giải câu 35


Ta có $ iz=5+4i$ $\Rightarrow z=\dfrac{5+4i}{i}\Rightarrow z=4-5i$$\Rightarrow\overline{z}=4+5i$.

Câu 36. Cho hình lăng trụ đứng $ ABC.A'{B}'{C}'$ có tất cả các cạnh bằng nhau (tham khảo hình bên). Góc giữa hai đường thẳng $A{A}'$ và $B{C}'$ là

A. $30^{\text{o}}$.
B. $90^{\text{o}}$.
C. $45^{\text{o}}$.
D. $60^{\text{o}}$.

Lời giải câu 36



Ta có $\left(\widehat{A{A}',B{C}'}\right)=\left(\widehat{B{B}',B{C}'}\right)=\widehat{B'BC}$ .
Tam giác $B'BC$ vuông cân tại $B'$ nên $\widehat{B'BC}=45^{\text{o}}$ .

Câu 37. Với mọi $a,b$ thỏa mãn $\log_2a^3+\log_2b=6$ , khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $a^3b=64$.
B. $a^3b=36$.
C. $a^3+b=64$.
D. $a^3+b=64$.

Lời giải câu 37


Ta có: $\log_2a^3+\log_2b=6\Leftrightarrow{\log_2}\left(a^3b\right)=6\Leftrightarrow{a^3}b=2^6\Leftrightarrow{a^3}b=64$ .

Câu 38. Nếu $\displaystyle\int\limits_0^2f(x)\text{d}x=5$ thì $\displaystyle\int\limits_0^2\left[2f(x)-1\right]\text{d}x$ bằng
A. 8.
B. 9.
C. 10.
D. 12.

Lời giải câu 38


$\displaystyle\int\limits_0^2\left[2f(x)-1\right]\,\text{d}x=\displaystyle\int\limits_0^22f(x)\text{d}x-\displaystyle\int\limits_0^21\text{d}x=8$ .

Câu 39. Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{aligned} & 2x+5\,\,\,\,khi\,\,\,x\ge 1\\ & 3x^2+4\,\,khi\,\,\,x< 1\\ \end{aligned}\right.$ . Giả sử $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(0)=2$ . Giá trị của $F\left(-1\right)+2F(2)$ bằng
A. 27.
B. 29.
C. 12.
D. 33.

Lời giải câu 39


$f(x)=\left\{\begin{aligned} & 2x+5\,\,\,\,khi\,\,\,x\ge 1\\ & 3x^2+4\,\,khi\,\,\,x< 1\\ \end{aligned}\right.\Rightarrow F(x)=\left\{\begin{aligned} &{x^2}+5x+C_1\,\,\,\,khi\,\,\,x\ge 1\\ &{x^3}+4x+C_2\,\,\ khi\,\,\,x< 1\\ \end{aligned}\right.$ .
Vì $F(0)=2\Rightarrow{C_2}=2\Rightarrow F(x)=\left\{\begin{aligned} &{x^2}+5x+C_1\,\,\,\,khi\,\,\,x\ge 1\\ &{x^3}+4x+2\,\,khi\,\,\,x< 1\\ \end{aligned}\right.$ .
Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow\underset{x\to{1^+}}{\lim}\,f(x)=\underset{x\to{1^-}}{\lim}\,f(x)$
$\begin{aligned} &\Leftrightarrow\underset{x\to{1^+}}{\lim}\,\left(x^2+5x+C_1\,\,\right)=\underset{x\to{1^-}}{\lim}\,\left(x^3+4x+2\right)\\ &\Leftrightarrow 1+5+C_1=1+4+2\\ &\Leftrightarrow{C_1}=1\\ \end{aligned}$
$\Rightarrow F(x)=\left\{\begin{aligned} &{x^2}+5x+1\,\,\,\,khi\,\,\,x\ge 1\\ &{x^3}+4x+2\,khi\,\,\,x< 1\\ \end{aligned}\right.$ .
Vậy $F\left(-1\right)+2F(2)=-3+2.15=27$ .

Câu 40. Có bao nhiêu số nguyên $ x$ thỏa mãn $\left(3^{x^2}-9^x\right)\left[\log_3\left(x+25\right)-3\right]\le 0$
A. 27.
B. Vô số.
C. $ 26$.
D. $ 25$.

Lời giải câu 40


Ta có điều kiện xác định của bất phương trình là $ x>-25$.
Đặt $ A(x)=\left(3^{x^2}-9^x\right)\left[\log_3\left(x+25\right)-3\right],x>-25$.
$3^{x^2}-9^x=0\Leftrightarrow x=0\vee x=2$.
$\log_3\left(x+25\right)-3=0\Leftrightarrow x=2$.
Ta có bảng xét dấu $ A(x)$ như sau

Từ đó, $ A(x)\le 0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} & x=2\\ &-25< x\le 0\\ \end{aligned}\right.\Rightarrow x\in\left\{-24;-23;...;0;2\right\}$ (do $ x\in\mathbb{Z}$).
Kết luận: có $ 26$nghiệm nguyên thỏa mãn.

Câu 41. Cho hàm số bậc ba$ y=f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình $ f\left(f(x)\right)=1$ là

A. $ 9$.
B. $ 3$.
C. $ 6$.
D. $ 7$.

Lời giải câu 41

Từ đồ thị hàm số ta có

$ f\left(f(x)\right)=1\Leftrightarrow $ $\left[\begin{aligned} & f(x)=x_1\,v\grave{a}\,x_1< -1(1)\\ & f(x)=0(2)\\ & f(x)=x_2\text\,v\grave{a}\,1< x_2< 2 (3)\\ \end{aligned}\right.$
Dựa vào đồ thị, $\text{(1)}$ có đúng 1 nghiệm, $\text{(2)}$ và $\text{(3)}$ mỗi phương trình có 3 nghiệm phân biệt và 7 nghiệm trên phân biệt nhau.

Câu 42. Cắt hình nón $(N)$ bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc bằng $60^0$ta thu được thiết diện là một tam giác đều cạnh $ 4a$. Diện tích xung quanh của $(N)$ bằng :
A. $8\sqrt{7}\pi{a^2}$.
B. $4\sqrt{13}\pi{a^2}$.
C. $8\sqrt{13}\pi{a^2}$ .
D. $4\sqrt{7}\pi{a^2}$.

Lời giải câu 42



Gọi $ I$ là tâm đáy nón. Ta có thiết diện qua đỉnh là tam giác $ SBA$.
Gọi M là trung điểm của AB. Suy ra $\widehat{SMI}=60^0$ .
Do tam giác $ SAB$ đều cạnh $ 4a$ $\Rightarrow SM=\dfrac{4a\sqrt{3}}{2}=2a\sqrt{3}$.
Xét tam giác $ SIM$ vuông tại $ I$ ta có $ SI=3a;IM=a\sqrt{3}$.
Xét $\Delta IMA$ vuông tại $ M$ ta có $ IA=\sqrt{I{M^2}+M{A^2}}=\sqrt{3a^2+\left(2a\right)^2}=a\sqrt{7}$.
Khi đó $S_{xq}=\pi rl=\pi a\sqrt{7}.4a=4\sqrt{7}\pi{a^2}$.

Câu 43. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình $z^2-2\left(m+1\right)z+m^2=0$ ($m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của $m$ để phương trình đó có nghiệm $z_0$ thỏa mãn $\left|z_0\right|=7?$
A. $ 2$.
B. $ 3$.
C. $ 1$.
D. $ 4$.

Lời giải câu 43


$\Delta'=(m+1)^2-m^2=2m+1$ .
+) Nếu $\Delta'\ge 0\Leftrightarrow 2m+1\ge 0\Leftrightarrow m\ge-\dfrac{1}{2}$ , phương trình có 2 nghiệm thực. Khi đó $\left|z_0\right|=7\Leftrightarrow{z_0}=\pm 7$.
Thế $z_0=7$ vào phương trình ta được: $m^2-14m+35=0\Leftrightarrow m=7\pm\sqrt{14}$ (nhận).
Thế $z_0=-7$ vào phương trình ta được: $m^2+14m+63=0$, phương trình này vô nghiệm.
+) Nếu $\Delta'< 0\Leftrightarrow 2m+1< 0\Leftrightarrow m< -\dfrac{1}{2}$ , phương trình có 2 nghiệm phức $z_1,z_2\notin\mathbb{R}$ thỏa $z_2=\overline{z_1},\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=7$ . Khi đó $z_1.z_2=\left|z_1\right|^2=m^2=7^2$ hay $m=7$ (loại) hoặc $m=-7$ (nhận).
Vậy tổng cộng có 3 giá trị của $m$ là $ m=7\pm\sqrt{14}$ và $m=-7$ .

Câu 44. Xét các số phức $ z,w$ thỏa mãn $\left| z\right|=1$ và $\left| w\right|=2$. Khi $\left| z+i\overline{w}-6-8i\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất, $\left| z-w\right|$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{221}}{5}$.
B. $\sqrt{5}$.
C. $ 3$.
D. $\dfrac{\sqrt{29}}{5}$.

Lời giải câu 44


Ta có:
$\left| w\right|=2\Rightarrow\left| i\overline{w}\right|=2$
$\left| z+i\overline{w}\right|\le\left| z\right|+\left| i\overline{w}\right|=3$
$P=\left| z+i\overline{w}-6-8i\right|\ge\left|-6-8i\right|-\left| z+i\overline{w}\right|=10-3=7$ .
Suy ra: $P_{\min}=7$ khi $\left\{\begin{aligned} & z=k.i\overline{w},\,\left(k\ge 0\right)\\ &-6-8i=h.\left(z+i\overline{w}\right),\left(h\le 0\right)\\ \end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned} & k=\dfrac{1}{2}\\ & h=-\dfrac{10}{3}\\ & z=\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{5}i\\ &\overline{w}=\dfrac{8}{5}-\dfrac{6}{5}i\\ \end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned} & z=\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{5}i\\ & w=\dfrac{8}{5}+\dfrac{6}{5}i\\ \end{aligned}\right.$ .
Vậy $\left| z-w\right|=\left|\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{5}i-\left(\dfrac{8}{5}+\dfrac{6}{5}i\right)\right|=\dfrac{\sqrt{29}}{5}$.

Câu 45. Trong không gian $ Oxyz$, cho đường thẳng $ d$: $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$ và mặt phẳng $(P):\,x+2y+z-4=0$. Hình chiếu vuông góc của $ d$ trên $(P)$ là đường thẳng có phương trình:
A. $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z+2}{-4}$.
B. $\dfrac{x}{3}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z+2}{1}$.
C. $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-4}$.
D. $\dfrac{x}{3}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-2}{1}$.

Lời giải câu 45


Tọa độ giao điểm $ A$ của $ d$ và $(P)$ thỏa mãn hệ phương trình:
$\left\{\begin{aligned} &\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}\\ & x+2y+z-4=0\\ \end{aligned}\right.$$\Leftrightarrow $$\left\{\begin{aligned} & x=0\\ & y=1\\ & z=2\\ \end{aligned}\right.$$\Rightarrow $$ A\left(0\,;\,1\,;\,2\right)$.
Lấy điểm $ B\left(1\,;\,2\,;\,1\right)\in d$. Gọi $ H$ là hình chiếu của $ B$ trên $(P)$.
$\Rightarrow $Phương trình $ BH$: $\left\{\begin{aligned} & x=1+t\\ & y=2+2t\\ & z=1+t\\ \end{aligned}\right.$
Do $ H=BH\bigcap(P)$ nên tọa độ điểm $ H$ thỏa mãn hệ phương trình:
$\left\{\begin{aligned} & x=1+t\\ & y=2+2t\\ & z=1+t\\ & x+2y+z-4=0\\ \end{aligned}\right.$$\Leftrightarrow $$\left\{\begin{aligned} & t=-\dfrac{1}{3}\\ & x=\dfrac{2}{3}\\ & y=\dfrac{4}{3}\\ & z=\dfrac{2}{3}\\ \end{aligned}\right.$$\Rightarrow $$ H\left(\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{4}{3}\,;\,\dfrac{2}{3}\right)$$\Rightarrow $$\overrightarrow{AH}=\left(\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\,;\,-\dfrac{4}{3}\right)$.
Gọi $d'$ là hình chiếu vuông góc của $ d$ trên $(P)$$\Rightarrow $$d'$ đi qua $ A$ và $ H$
$\Rightarrow $$d'$ có một vector chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(2\,;\,1\,;\,-4\right)$.
Vậy phương trình đường thẳng $d'$ là: $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-4}$.

Câu 46. Cho hàm số $f(x)=x^3+a {x^2}+bx+c$ với $a,b,c$ là các số thực. Biết hàm số $g(x)=f(x)+f'(x)+f''(x)$ có hai giá trị cực trị là là $-3$ và $6$ . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\dfrac{f(x)}{g(x)+6}$ và $y=1$ bằng
A. $2\ln 3$.
B. $\ln 3$.
C. $\ln 18$.
D. $2\ln 2$.

Lời giải câu 46

Ta có $f'(x)=3x^2+2ax+b$ ;
$f''(x)=6x+2a$ ;
$f'''(x)=6$ ;
$g(x)=f(x)+f'(x)+f''(x)$ $\Rightarrow g'(x)=f'(x)+f''(x)+6$ .
Vì $g(x)$ có hai giá trị cực trị là là $-3$ và $6$ nên không giảm tổng quát, $g(x)$ có hai điểm cực trị là $x_1,x_2$ và $g\left(x_1\right)=-3$ , $g\left(x_1\right)=6$ .
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường $y=\dfrac{f(x)}{g(x)+6}$ và $y=1$ là $\dfrac{f(x)}{g(x)+6}=1$
$\Leftrightarrow f(x)=g(x)+6$
$\Leftrightarrow f(x)=f(x)+f'(x)+f''(x)+6$
$\Leftrightarrow{f}'(x)+f''(x)+6=0$
$\Leftrightarrow{g}'(x)=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} & x=x_1\\ & x=x_2\\ \end{aligned}\right.$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\dfrac{f(x)}{g(x)+6}$ và $y=1$ là:
$S=\left|\displaystyle\int\limits_{x_1}^{x_2}{\left(\dfrac{f(x)}{g(x)+6}-1\right)}dx\right|=\left|\displaystyle\int\limits_{x_1}^{x_2}{\left(\dfrac{f(x)-g(x)-6}{g(x)+6}\right)}dx\right|=\left|\displaystyle\int\limits_{x_1}^{x_2}{\left(\dfrac{-f'(x)-f''(x)-6}{g(x)+6}\right)}dx\right|$
$=\left|\displaystyle\int\limits_{x_1}^{x_2}{\left(\dfrac{-g'(x)}{g(x)+6}\right)}dx\right|=\left|\displaystyle\int\limits_{x_1}^{x_2}{\left(\dfrac{g'(x)}{g(x)+6}\right)}dx\right|=\left|\left.\ln\left| g(x)+6\right|\right|_{x_1}^{x_2}\right|=\left|\ln 12-\ln 3\right|=2\ln 2.$

Câu 47. Có bao nhiêu số nguyên $y$ sao cho tồn tại $x\in\left(\dfrac{1}{3};3\right)$ thỏa mãn $27^{3x^2+xy}=\left(1+xy\right){27^{9x}}$ .
A. $ 27$.
B. $ 9$.
C. $ 11$.
D. $ 12$.

Lời giải câu 47


• Khi $ y\le 0,$ vì $ xy>-1$ và $ x>\dfrac{1}{3}$ nên ta có $ y>-3.$
Với $ y=0$, phương trình thành: $27^{3x^2-9x}-1=0$ vô nghiệm vì $27^{3x^2-9x}-1< 27^0-1=0,\forall x\in\left(\dfrac{1}{3};3\right)$
Với $ y=-1$, phương trình thành: $27^{3x^2-10x}-(1-x)=0$ , có nghiệm vì $g_1(x)=27^{3x^2-10x}-(1-x)$ liên tục trên $\left[\dfrac{1}{3};3\right]$ và $g_1\left(\dfrac{1}{3}\right).g_1(3)< 0$ .
Với $ y=-2$, phương trình thành: $27^{3x^2-11x}-(1-2x)=0$ , có nghiệm vì $g_2(x)=27^{3x^2-11x}-(1-2x)$ liên tục trên $\left[\dfrac{1}{3};3\right]$ và $g_2\left(\dfrac{1}{3}\right).g_2(3)< 0$ .
• Khi $ y\ge 1,$ xét trên $\left[\dfrac{1}{3};3\right]$, ta có
$\begin{aligned} &{27^{3x^2+xy}}=(1+xy){27^{9x}}\Leftrightarrow 3x^2-9x=\log_{27}(1+xy)-xy\\ &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow 3x-9-\dfrac{\log_{27}(1+xy)}{x}+y=0.\\ \end{aligned}$
Xét hàm $ g(x)=3x-9-\dfrac{\log_{27}(1+xy)}{x}+y$ trên $\left[\dfrac{1}{3};3\right].$
Ta có $ g'(x)=3+\dfrac{\ln (1+xy)}{x^2\ln 27}-\dfrac{y}{x(1+xy)\ln 27}>3-\dfrac{1}{3x^2\ln 3}\ge 3-\dfrac{3}{\ln 3}>0,
forall x\in\left[\dfrac{1}{3};3\right].$
Do đó, hàm $ g(x)$ đồng biến trên $\left[\dfrac{1}{3};3\right]$. Vì thế phương trình $ g(x)=0$ có nghiệm trên $\left(\dfrac{1}{3};3\right)$ khi và chỉ khi $ g\left(\dfrac{1}{3}\right)g(3)< 0.$ Áp dụng bất đẳng thức $\ln (1+u)< u$ với mọi $ u>0$, ta có
$ g(3)=-\dfrac{\log_{27}(1+3y)}{3}+y>-\dfrac{3y}{3\ln 27}+y>0.$
Do đó $ g\left(\dfrac{1}{3}\right)< 0\Leftrightarrow-\log_3\left(1+\dfrac{y}{3}\right)+y-8< 0\Leftrightarrow 1\le y\le 9$(do $ y$ là số nguyên dương).
Vậy $ y\in\left\{-2;-1;1;2;...;9\right\}$ hay có 11 giá trị $y$ thỏa đề.

Câu 48. Cho khối hộp chữ nhật $ ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông, $ BD=2a$, góc giữa hai mặt phẳng $\left(A'BD\right)$ và $\left(ABCD\right)$ bằng $30^0$. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng
A. $ 6\sqrt{3}{a^3}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{3}}{9}{a^3}$.
C. $ 2\sqrt{3}{a^3}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}{a^3}$.

Lời giải câu 48



Gọi $ O$ là tâm hình vuông $ ABCD$. Vì $ BD\perp OA$ và $ BD\perp AA'$ nên $ BD\perp\left(A'OA\right)\Rightarrow BD\perp OA'$
Lại có $\left(A'BD\right)\cap\left(ABCD\right)=BD$. Do đó $\left(\left(A'BD\right),\,\left(ABCD\right)\right)=\widehat{A'OA}=30^0$ (Hình vẽ trên).
Vì tứ giác $ ABCD$ là hình vuông có $ BD=2a$ nên $ OA=a$ và $ AB=AD=a\sqrt{2}$.
Xét tam giác $ A'AO$ vuông tại $ A$ có $ OA=a$ và $\widehat{A'OA}=30^0$ nên $ AA'=OA.tan{30^0}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Vậy thể tích khối hộp chữ nhật $ V=AB.AD.AA'=a\sqrt{2}.a\sqrt{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}{a^3}$.

Câu 49. Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $ A(1;-3;-4),\,\,B(-2;1;2).$ Xét hai điểm $ M$ và $ N$ thay đổi thuộc mặt phẳng $ (Oxy)$ sao cho $ MN=2.$ Giá trị lớn nhất của $\left| AM-BN\right|$ bằng
A. $ 3\sqrt{5}$.
B. $\sqrt{61}$.
C. $\sqrt{13}$.
D. $\sqrt{53}$.

Lời giải câu 49


Vì $z_A.z_B< 0$ nên $ A,\mathbf{B}$ nằm khác phía so với mặt phẳng $ (Oxy)$.
Gọi $ H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $ A,B$ lên mặt phẳng $ (Oxy)$
$\Rightarrow H(1;-3;0),\,\,K(-2;1;0)$.

Gọi $A_1$ là điểm đối xứng của $ A$ qua $ (Oxy)\Rightarrow{A_1}(1;-3;4)$.
Gọi $A_2$ thỏa $\overrightarrow{A_1A_2}=\overrightarrow{MN}$$\Rightarrow{A_1}{A_2}=2$
$\Rightarrow{A_2}\in $ đường tròn $ (C)$ nằm trong mặt phẳng song song với $ (Oxy)$ và có tâm $A_1,$ bán kính $ R=2$.
Khi đó: $\left| AM-BN\right|=\left|A_1M-BN\right|=\left|A_2N-BN\right|\le{A_2}B$
Dấu $ ''=''$ xảy ra và $A_2B$ đạt giá trị lớn nhất $\Leftrightarrow\overrightarrow{A_1A_2}$ ngược hướng với $\overrightarrow{HK}$.
$\Rightarrow\overrightarrow{A_1A_2}=-\dfrac{\left|\overrightarrow{A_1A_2}\right|}{\left|\overrightarrow{HK}\right|}\overrightarrow{HK}=\left(\dfrac{6}{5};-\dfrac{8}{5};0\right)$$\Rightarrow{A_2}\left(\dfrac{11}{5};-\dfrac{23}{5};4\right)\Rightarrow{A_2}B=\sqrt{53}$.
Vậy giá trị lớn nhất của $\left| AM-BN\right|$ bằng $\sqrt{53}$.

Câu 50. Cho hàm số $ y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=\left(x-7\right)\left(x^2-9\right),\forall x\in\mathbb{R}.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $ m$ để hàm số $ g(x)=f\left(\left|x^3+5x\right|+m\right)$ có ít nhất 3 điểm cực trị?
A. $ 6$.
B. $ 7$.
C. $ 5$.
D. $ 4$.

Lời giải câu 50

Ta có BBT của hàm $ y=\left| h(x)\right|=\left|x^3+5x\right|$ như sau

Ta có $g'(x)=\left|x^3+5x\right|^{\prime}.f'\left(\left|x^3+5x\right|+m\right)$. Rõ ràng $ x=0$ là điểm cực trị của hàm số $ y=\left| h(x)\right|$.
Ta có: $f'\left(\left|x^3+5x\right|+m\right)=0\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} \left|x^3+5x\right|+m=7
\left|x^3+5x\right|+m=3
\left|x^3+5x\right|+m=-3
\end{matrix}\Leftrightarrow\right.\left[\begin{matrix} \left|x^3+5x\right|=7-m
\left|x^3+5x\right|=3-m
\left|x^3+5x\right|=-3-m
\end{matrix}\right.$.
Để hàm số $ g(x)$ có ít nhất $ 3$ điểm cực trị thì phương trình $g'(x)=0$ có ít nhất $ 2$ nghiệm phân biệt khác $ 0$ và $g'(x)$ đổi dấu khi đi qua ít nhất $ 2$ trong số các nghiệm đó.
Từ BBT ta có $ 7-m>0\Leftrightarrow m< 7$$\Rightarrow m\in\left\{ 1;2;3;4;5;6\right\}.$
Vậy có 6 giá trị của $ m$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

   Số câu đúng   

No comments:

Post a Comment