KOTIMART

Chia sẻ tài liệu Toán THPT Quốc Gia

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2021 - Hậu Giang

 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHỆP THPT QUỐC GIA 2021 TỈNH HẬU GIANG



 LÀM ĐỀ TRỰC TUYẾN VỚI LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. Có bao nhiêu cách xếp 4 học sinh thành một hàng dọc?
A. $4 !$.
B. $A_4^1$.
C. $C_4^4$.
D. $4^4$.

Lời giải câu 1

Câu 2. Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có $u_1=2$ và công bội $q=3.$ Giá trị của $u_2$ bằng
A. $2.3$.
B. $2^3$.
C. $3^2$.
D. $\dfrac{2}{3}$.

Lời giải câu 2

Câu 3. Cho hàm số $f(x)$ có có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. $(-1;1)$.
B. $(-\infty ;-2)$.
C. $(-2;1)$.
D. $(-2;+\infty)$.

Lời giải câu 3

Câu 4. Cho hàm số $f(x)$ có $f'(x)=x^2(x^3-1).$ Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.

Lời giải câu 4

Câu 5. Cho hàm số $f(x)$ có đồ thị của $f'(x)$ như sau
Hàm số $f(x)$ có bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. 4.
B. 1.
C. 2.
D. 3.

Lời giải câu 5

Câu 6. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\dfrac{4}{x-3}$ là đường thẳng
A. $y=1$.
B. $y=4$ .
C. $y=0$.
D. $y=3$.

Lời giải câu 6

Câu 7. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. $y=\dfrac{1}{x}$.
B. $y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ .
C. $y=\log_{\dfrac{1}{2}}x$.
D. $y=\log_2x$.

Lời giải câu 7

Câu 8. Đồ thị của hàm số $y=x^2-3x$ cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. $3$.

Lời giải câu 8

Câu 9. Với $a$ là số thực dương khác 1, $\log_a{a^{\dfrac{1}{2}}}$ bằng
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. $2$.
C. $\sqrt{a}$.
D. $\dfrac{\sqrt{a}}{2}$.

Lời giải câu 9

Câu 10. Đạo hàm của hàm số $y=\ln 2x$ là
A. $y^{\prime}=\dfrac{1}{x}$.
B. $y^{\prime}=1+\dfrac{1}{x}$.
C. $y^{\prime}=\dfrac{1}{2x}$.
D. $y^{\prime}=\dfrac{1}{x^2}$.

Lời giải câu 10

Câu 11. Với a là số thực dương tùy ý, $\sqrt[5]{a}$ bằng
A. $a^5$.
B. $a^{\dfrac{5}{2}}$.
C. $a^{\dfrac{2}{5}}$ .
D. $a^{\dfrac{1}{5}}$.

Lời giải câu 11

Câu 12. Nghiệm của phương trình $3^{\sqrt{x}}=9$ là
A. $x=\pm 4$.
B. $x=2$ .
C. $x=4$.
D. $x=\pm 2$.

Lời giải câu 12

Câu 13. Nghiệm của phương trình $\log_2x=\ln 2$ là
A. $x=2^{\ln 2}$.
B. $x=2$.
C. $x=e$.
D. $x=e^2$.

Lời giải câu 13

Câu 14. Cho hàm số $f(x)=e^{2x}$ . Trong các khẳng đinh sau, khằng định nào đúng?
A. $\displaystyle\int{f}(x)\text{d}x=\dfrac{1}{2}{e^{2x}}+C$ .
B. $\displaystyle\int{f}(x)\text{d}x=e^{2x}+C$.
C. $\displaystyle\int{f}(x)\text{d}x=\dfrac{1}{2}{e^{2x-1}}+C$.
D. $\displaystyle\int{f}(x)\text{d}x=2x.e^{2x}+C$.

Lời giải câu 14

Câu 15. Biết $\displaystyle\int\limits_1^3f(x)dx=2$ và $\displaystyle\int\limits_1^5f(x)dx=5.$ Giá trị của $\displaystyle\int\limits_3^5f(x)dx$ bằng
A. $3$.
B. $-3$.
C. $7$.
D. $10$.

Lời giải câu 15

Câu 16. Tích phân $\displaystyle\int_1^3dx$ bằng
A. $2$.
B. $0$.
C. $8$.
D. $1$.

Lời giải câu 16

Câu 17. Mô đun của số phức $z=3-i$ là
A. $\left| z\right|=\sqrt{10}$.
B. $\left| z\right|=\sqrt{2}$.
C. $\left| z\right|=2$.
D. $\left| z\right|=2\sqrt{2}$.

Lời giải câu 17

Câu 18. Cho hai số phức $z=1+i$ và $w=-3i.$ Phần ảo của số phức $z-w$ bằng
A. $4$.
B. $1$.
C. $4i$.
D. $-4$.

Lời giải câu 18

Câu 19. Trên mặt phẳng tọa độ, biết điểm biểu diễn của số phức z là $M(0;-1).$ Khi đó, số phức $z$ bằng
A. $z=-i$.
B. $z=-1-i$.
C. $z=-1$.
D. $z=i$.

Lời giải câu 19

Câu 20. Một khối chóp có thể tích bằng 8 và diện tích đáy bằng 6. Chiều cao của khối chóp đó bằng
A. $4$.
B. $\dfrac{4}{9}$.
C. $\dfrac{4}{3}$.
D. $\dfrac{3}{2}$.

Lời giải câu 20

Câu 21. Thể tích của khối lập phương có cạnh $2a$ bằng
A. $8a^3$.
B. $2a^3$.
C. $\dfrac{8a^3}{3}$.
D. $a^3$.

Lời giải câu 21

Câu 22. Thể tích của khối nón có bán kính đáy bằng $2$ và chiều cao bằng $5$ là
A. $\dfrac{20\pi}{3}$.
B. $20\pi $.
C. $\dfrac{10\pi}{3}$.
D. $\dfrac{50\pi}{3}$.

Lời giải câu 22

Câu 23. Tính thể tích khối trụ có bán kính đáy bằng $3~\text{cm}$ và độ dài đường sinh $l=5\,~\text{cm}$
A. $45\pi\,(\text{c}{\text{m}^3})$.
B. $36\pi\,(\text{c}{\text{m}^3})$.
C. $15\pi\,(\text{c}{\text{m}^3})$.
D. $72\pi\,(\text{c}{\text{m}^3})$.

Lời giải câu 23

Câu 24. Trong không gian $Oxyz,$ cho điểm $A(1;2;3).$ Độ dài đoạn $OA$ là
A. $OA=\sqrt{14}$.
B. $OA=\sqrt{6}$.
C. $OA=\sqrt{10}$.
D. $OA=4$.

Lời giải câu 24

Câu 25. Trong không gian $Oxyz,$ mặt cầu $(S):{x^2}+y^2+z^2+2x-1=0$ có bán kính bằng
A. $\sqrt{2}$.
B. $\sqrt{3}$.
C. $\sqrt{5}$.
D. $2$.

Lời giải câu 25

Câu 26. Trong không gian$Oxyz,$ mặt phẳng nào dưới đây song song với mặt phẳng $(Oyz)?$
A. $(P_1):\,\,x=1$.
B. $(P_2):\,\,y+z-1=0$.
C. $(P_3):\,\,x=0$.
D. $(P_4):\,\,y+z=0$.

Lời giải câu 26

Câu 27. Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $M(1;1;0)$ và $N(-1;-1;2).$ Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thằng $MN$
A. $\vec{u}_1=(1;1;-1)$.
B. $\vec{u}_2=(1;1;1)$.
C. $\vec{u}_3=(0;0;1)$.
D. $\vec{u}_4=(1;1;0)$.

Lời giải câu 27

Câu 28. Chọn ngẫu nhiên hai số nguyên dương khác nhau từ $1$ đến 9. Xác suất để chọn được hai số chẵn bằng
A. $\dfrac{1}{6}$.
B. $\dfrac{1}{10}$.
C. $\dfrac{1}{36}$.
D. $\dfrac{1}{20}$.

Lời giải câu 28

Câu 29. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên $\mathbb{R}?$
A. $y=2x-\sin x$.
B. $y=x^2$.
C. $y=-x^3$.
D. $y=-\dfrac{1}{x}$.

Lời giải câu 29

Câu 30. Gọi $M,\,\,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x^3-3x^2$ trên đoạn $\left[1;3\right].$ Khi đó, giá trị của biểu thức $M-m$ bằng
A. $4$.
B. $-4$.
C. $2$.
D. $-2$.

Lời giải câu 30


Câu 31. Tập nghiệm của bất phương trình $\log_2\left(\log x\right)>\dfrac{1}{2}$ là
A. $(10^{\sqrt{2}};+\infty)$.
B. $(10^2;+\infty)$.
C. $(\sqrt{10};+\infty)$.
D. $(10;+\infty)$.

Lời giải câu 31

Câu 32. Nếu $\displaystyle\int\limits_2^{10}{\left[2f(x)+1\right]}\,dx=10$ thì $\displaystyle\int\limits_1^5f(2x)\,dx$ bằng
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. $2$.
C. $1$.
D. $4$.

Lời giải câu 32

$10=\displaystyle\int\limits_2^{10}{\left[2f(x)+1\right]}dx=\displaystyle\int\limits_2^{10}{2f(x)dx}+8\Rightarrow\displaystyle\int\limits_2^{10}{f(x)dx}=1$
$\displaystyle\int\limits_1^5f(2x)dx=\displaystyle\int\limits_2^{10}{\dfrac{1}{2}f(2x)}\,d(2x)=\dfrac{1}{2}.$

Câu 33. Cho hai số phức $z_1=1+4i$ và $z_2=1+i.$ Mô đun của số phức $(z_1-1){z_2}$ bằng
A. $4\sqrt{2}$.
B. $2\sqrt{2}$.
C. $\sqrt{2}$.
D. $8$.

Lời giải câu 33

Câu 34. Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có $AB=\sqrt{3}$ và $SA=\sqrt{2}$ . Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng


A. $30^{^\circ}$ .
B. $45^{^\circ}$.
C. $60^{^\circ}$.
D. $90^{^\circ}$.

Lời giải câu 34


Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc $\widehat{SCH}$ . Ta có
$SC=\sqrt{2};CH=\dfrac{2}{3}CM=\dfrac{2}{3}.\sqrt{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=1$
Suy ra tam giác $SCH$ là tam giác vuông cân tại $H$ vậy $\widehat{SCH}=45^0$ .

Câu 35. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $AB=2a$ và $SA=a\sqrt{3}$ . Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$


A. $a\sqrt{2}$.
B. $2a\sqrt{5}$.
C. $a\sqrt{5}$.
D. $a$.

Lời giải câu 35


Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ , ta có $d\left(A;\left(SCD\right)\right)=2d\left(O;\left(SCD\right)\right)=2d$
$OC,OD,OS$ đôi một vuông góc; $OC=OD=\dfrac{1}{2}BD=a\sqrt{2},OS=\sqrt{S{D^2}-O{D^2}}=a$
Suy ra: $\dfrac{1}{d^2}=\dfrac{1}{O{C^2}}+\dfrac{1}{O{D^2}}+\dfrac{1}{O{S^2}}=\dfrac{1}{2a^2}+\dfrac{1}{2a^2}+\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{2}{a^2}\Rightarrow d=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ , ta có $d\left(A;\left(SCD\right)\right)=2d\left(O;\left(SCD\right)\right)=2d$
Ta có
$OD=\dfrac{1}{2}BD=a\sqrt{2},OS=\sqrt{S{D^2}-O{D^2}}=a$
$\dfrac{1}{d^2}=\dfrac{1}{S{O^2}}+\dfrac{1}{O{N^2}}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{2}{a^2}\Rightarrow d=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$
Vậy $d\left(A;\left(SCD\right)\right)=2d\left(O;\left(SCD\right)\right)=2d=a\sqrt{2}$

Câu 36. Trong không gian $Oxyz,$ mặt cầu có tâm $I(1;2;3)$ và tiếp xúc mặt phẳng $(Oyz)$ có phương trình là
A. $\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-3\right)^2=1$.
B. $\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-3\right)^2=9$.
C. $\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-3\right)^2=4$.
D. $\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-3\right)^2=3$.

Lời giải câu 36

Câu 37. Trong không gian $Oxyz,$ đường thằng đi qua điểm $A(1;1;0)$ và song song với đường thẳng $(d):\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z-1}{2}$ có phương trình tham số là
A. $\left\{\begin{array}{*{35}{l}} x=2+t
y=-1-2t
z=2+2t
\end{array}\right.$.

B. $\left\{\begin{array}{*{35}{l}} x=1+t
y=-1-2t
z=2t
\end{array}\right.$.

C. $\left\{\begin{array}{*{35}{l}} x=2+t
y=2+2t
z=2t
\end{array}\right.$.

D. $\left\{\begin{array}{*{35}{l}} x=-1+t
y=-1-2t
z=2t
\end{array}\right.$.

Lời giải câu 37

Câu 38. Cho hàm số $f(x),$ đồ thị của hàm số $y=f'(x)$ là đường cong trong hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số $g(x)=f(3x)-9x^3$ trên đoạn $\left[-\dfrac{1}{3};1\right]$ bằng

A. $f(2)-\dfrac{8}{3}$.
B. $f(3)-9$.
C. $f(1)-\dfrac{1}{3}$.
D. $f(4)-\dfrac{64}{3}$.

Lời giải câu 38

Xét $g(x)=y=f\left(3x\right)-9x^3$
Đặt $t=3x\Rightarrow y=f(t)-\dfrac{1}{3}{t^3},\,x\in\left[-\dfrac{1}{3};1\right]\Rightarrow t\in\left[-1;3\right]$
$\Rightarrow{y'}=f'(t)-t^2=0\Leftrightarrow{f'}(t)=t^2\,(*)$
Dựa vào đồ thị hàm số thì phương trình $(*)$ có hai nghiệm $t=-1,t=2$ trong $\left[-1;3\right]$
Ta có bảng biến thiên

$\Rightarrow\underset{\left[-1;3\right]}{\max}\,y=\underset{\left[-1;3\right]}{\max}\,\left[f(t)-\dfrac{1}{3}{t^3}\right]=f(2)-\dfrac{8}{3}$

Câu 39. Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ sao cho ứng với mỗi $y$ có không quá 5 số nguyên $x$ thỏa mãn $(\ln x-1)(3y-3^x)>0?$
A. $2187$.
B. $2188$.
C. $2179$.
D. $2181$.

Lời giải câu 39

Điều kiện $x>0$
TH1. $\left\{\begin{aligned} &\ln x>1\\ & 3y>3^x\\ \end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} & x>e\\ & x< \log_33y\\ \end{aligned}\right.$
Theo yêu cầu bài toán, một $y$ có không quá 5 số nguyên $x$ thỏa đề bài, suy ra
$3\le{\log_3}3y\le 8\Leftrightarrow{3^3}\le 3y\le{3^8}\Leftrightarrow 9\le y\le 2187$ suy ra có $2179$ giá trị.
TH2. $\left\{\begin{aligned} &\ln x< 1\\ & 3y< 3^x\\ \end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} & x< e\\ & x>\log_33y\\ \end{aligned}\right.$
Theo yêu cầu bài toán, một $y$ có không quá 5 số nguyên $x$ , suy ra
$-3\le{\log_3}3y\le 2\Leftrightarrow{3^{-3}}\le 3y\le 9\Leftrightarrow{3^{-4}}\le y\le 3$ , do $y$ nguyên dương nên suy ra $y=1,2,3$
Vậy có tất cả $2182$ giá trị của $y$ thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 40. Biết $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\left\{\begin{aligned} &\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{khi}\,\,x>0\\ &{(x+1)^2}\,\,\text{khi}\,\,x\le 0\\ \end{aligned}\right..$ Biết $F(9)+F(-2)=\dfrac{4}{3}.$ Tính $F(4).$
A. $2$.
B. $4$.
C. $6$.
D. $\dfrac{2}{3}$.

Lời giải câu 40

$\begin{aligned} & x>0:F(x)=2\sqrt{x}+c1\\ & x\le 0:F(x)=\dfrac{1}{3}{\left(x+1\right)^3}+c2\\ \end{aligned}$
Suy ra: $F(9)+F\left(-2\right)=6+c1-\dfrac{1}{3}+c2\Rightarrow\dfrac{17}{3}+c1+c2=\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow c1+c2=-\dfrac{13}{3}$
Do $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên $F\left(0^+\right)=F\left(0^-\right)\Leftrightarrow c1=c2+\dfrac{1}{3}$
Vậy ta có $\left\{\begin{aligned} & c1+c2=-\dfrac{13}{3}\\ & c1-c2=\dfrac{1}{3}\\ \end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} & c1=-2\\ & c2=-\dfrac{7}{3}\\ \end{aligned}\right.$
Suy ra $x>0:F(x)=2\sqrt{x}-2\Rightarrow F(4)=2$

Câu 41. Có bao nhiêu số phức $z$ thóa mãn $z.\bar{z}=z+\bar{z}+1$ và $\left| z-1\right|=\left| z-3-2i\right|$ ?
A. 1.
B. 0.
C. 2.
D. 4.

Lời giải câu 41

$z.\bar{z}=z+\bar{z}+1\Rightarrow{x^2}+y^2=2x+1\Leftrightarrow{\left(x-1\right)^2}+y^2=2\,(C)$
$\left| z-1\right|=\left| z-3-2i\right|\Leftrightarrow{\left(x-1\right)^2}+y^2=\left(x-3\right)^2+\left(y-2\right)^2\Leftrightarrow x+y-3=0\,(d)$
Nhận thấy $(d)$ và $(C)$ tiếp xúc nhau, suy ra có đúng 1 số phức thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 42. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, với $AD=2AB=2a,$ cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}.$ Tính thề tích của khối chóp $S.ABCD.$

A. $\dfrac{4a^3}{3}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{2}{a^3}}{3}$.
C. $\dfrac{8a^3}{3}$.
D. $\dfrac{2a^3}{3}$.

Lời giải câu 42

Xét tam giác $SAB:\dfrac{1}{A{H^2}}=\dfrac{1}{S{A^2}}+\dfrac{1}{A{B^2}}\Rightarrow\dfrac{1}{S{A^2}}=\dfrac{1}{\dfrac{4a^2}{5}}-\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{1}{4}{a^2}\Rightarrow SA=2a$
Vậy $V=\dfrac{1}{3}SA.AB.AD=\dfrac{1}{3}2a.a.2a=\dfrac{4a^3}{3}$

Câu 43. Cho hình nón $(N)$ có đinh $S$ , độ dài đường sinh $\sqrt{6}$ và đáy là đường tròn $(C)$ tâm $O$ bán kính bằng $2$ . Trên đường tròn $(C)$ lấy hai điểm $A,B$ sao cho $\widehat{ASB}=90^0$ . Tính phần diện tích xung quanh của mặt nón $(N)$ được giới hạn bởi $SA,SB$ , cung nhỏ $AB$ .

A. $5,10$.
B. $5,11$ .
C. $5,13$.
D. $5,12$.

Lời giải câu 43

Do $SAB$ là tam giác vuông cân nên $AB=\sqrt{2}.SA=\sqrt{2}.\sqrt{6}=2\sqrt{3}$
Trong tam giác $AOB$ ta có:
$\cos\widehat{AOB}=\dfrac{O{A^2}+O{B^2}-A{B^2}}{2OA.OB}=\dfrac{2^2+2^2-\left(2\sqrt{3}\right)^2}{2.2.2}=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow\widehat{AOB}=120^0$
Suy ra phần diện tích cần tính bằng $\dfrac{1}{3}$ diện tích xung quang của hình nón: $\dfrac{1}{3}.\pi rl=\dfrac{1}{3}\pi 2.\sqrt{6}$

Câu 44. Một bồn hoa có dạng hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 m, bốn cung tròn AB, BC, CD và DA là các cung tròn của các đường tròn có bán kính $2\sqrt{2}$ m. Người ta chia bồn hoa thành các phần như hình vẽ và có ý định trồng hoa như sau: phần diện tích giới hạn bởi hình vuông và các cung tròn dùng để trồng hoa hồng, phần diện tích hình vuông MNPQ có cạnh bằng 0,5 m dùng để trồng hoa hướng dương, phần đất còn lại để trồng cỏ. Biết giá trồng hoa hồng là 200.000 đồng/m2, giá trồng cỏ là 100.000 đồng/m2 và giá trồng hoa hướng dương là 300.000 đồng/m2. Hỏi số tiền để thực hiện việc trang trí bồn hoa là bao nhiêu?

A. 2.563.000 đồng.
B. 2.554.000 đồng.
C. 2.467.000 đồng.
D. 2.523.000 đồng.

Lời giải câu 44

Cách 1: Gọi là đường tròn có tâm I, bán kính IA và H là trung điểm AB. Ta có $IH=\sqrt{R^2-A{H^2}}=\sqrt{8-4}=2=\dfrac{AB}{2}.$
Suy ra tam giác IAB vuông cân tại I. Do đó, diện tích giới hạn bởi $(C)$ và hình vuông ABCD là
$S_1=\dfrac{1}{4}{S_{(C)}}-S_{\Delta AIB}=\dfrac{1}{4}\pi I{A^2}-\dfrac{1}{2}I{A^2}=2\pi-4\,\,(m^2).$
Suy ra, phần diện tích giới hạn bởi 4 đường tròn và hình vuông ABCD là $S_h=4S_1=4(2\pi-4)=8\pi-16\,\,(m^2).$
Diện tích hình vuông ABCD là $S_{ABCD}=16\,\,(m^2).$
Diện tích hình vuông MNPQ là $S_{MNPQ}=\dfrac{1}{4}\,\,(m^2).$
Diện tích phần còn lại là $S_c=S_{ABCD}-S_h-S_{MNPQ}=\dfrac{127}{4}-8\pi\,\,(m^2).$
Số tiền để thực hiện việc trang trí bồn hoa là $T=200.000\times{S_h}+100.000\times{S_c}+300.000\times{S_{MNPQ}}$
$\,\,\,\,=2.563.274,123$ đồng.

Cách 2: Gọi là đường tròn có tâm I, bán kính IA và H là trung điểm AB.
Ta có $IH=\sqrt{R^2-A{H^2}}=\sqrt{8-4}=2.$
Chọn hệ trục như hình vẽ.
Ta có $I(0;4)\Rightarrow (C):\,\,x^2+(y-4)^2=8.$
Khi đó, diện tích giới hạn bởi $(C)$ và hình vuông ABCD là
$S_1=\displaystyle\int\limits_{-2}^2(2-(4-\sqrt{8-x^2}))dx\simeq 2.283185307\,\,m^2.$
Suy ra, phần diện tích giới hạn bởi 4 đường tròn và hình vuông ABCD là $S_h=4S_1=9.132741229\,\,m^2.$
Diện tích hình vuông ABCD là $S_{ABCD}=16\,\,m^2.$
Diện tích hình vuông MNPQ là $S_{MNPQ}=\dfrac{1}{4}\,\,m^2.$
Diện tích phần còn lại là $S_c=S_{ABCD}-S_h-S_{MNPQ}\simeq 6.617258771\,\,m^2.$
Số tiền để thực hiện việc trang trí bồn hoa là $T=200.000\times{S_h}+100.000\times{S_c}+300.000\times{S_{MNPQ}}$
$\,\,\,\,\simeq 2.563.274,123$ đồng.

Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho ba đường thẳng $d_1:\left\{\begin{aligned} & x=t\\ & y=4-t\\ & z=-1+2t\\ \end{aligned}\right.$ , $d_2:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-2}{-3}=\dfrac{z}{-3}$ và $d_3:\dfrac{x+1}{5}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z+1}{1}.$ Viết phương trình đường thẳng $\Delta ,$ biết $\Delta $ cắt ba đường thẳng $d_1$ ,$d_2$ ,$d_3$ lần lượt các điểm $A$ ,$B$ ,$C$ sao cho $AB=BC.$
A. $\Delta :\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z}{1}$.
B. $\Delta :\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z+1}{1}$.
C. $\Delta :\dfrac{x}{1}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z}{1}$.
D. $\Delta :\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-1}{1}$.

Lời giải câu 45

Xét ba điểm $A$ ,$B$ ,$C$ lần lượt nằm trên ba đường thẳng $d_1$ ,$d_2$ và $d_3.$ Khi đó:
$A\left(a;\text{4}-\text{a;}-1+2a\right)$ ,$B\left(b;\text{2}-\text{3b;}-3b\right)$ ,$C\left(-1+5c;\text{1+2c;-1+c}\right)$
Do $A$ ,$B$ ,$C$ thẳng hàng và $AB=BC$ , suy ra $B$ là trung điểm của $AC$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} & a+\left(-1+5c\right)=2b\\ & 4-a+\left(1+2c\right)=2\left(2-3b\right)\\ &-1+2a+\left(-1+c\right)=2\left(-3b\right)\\ \end{aligned}\right.$ $\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} & a-2b+5c=1\\ & a-6b-2c=1\\ & 2a+6b+c=2\\ \end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} & a=1\\ & b=0\\ & c=0\\ \end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned} & A\left(1;\text{3; 1}\right)\\ & B\left(0;\text{2; 0}\right)\\ & C\left(-1;\text{1;}-\text{1}\right)\\ \end{aligned}\right.$
$\Rightarrow\overrightarrow{BA}=\left(1;\text1;\text1\right)$ . Suy ra phương trình $\Delta :\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z}{1}$ .

Câu 46. Cho $f(x)$ là hàm số bậc ba. Hàm số $f'(x)$ có $f'(0)=\ln 2$ và có đồ thị như sau
Xét hàm số $g(x)=f(x)-2^x.$ Hàm số $y=g(\left| x\right|)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3.
B. 5.
C. 4.
D. 2.

Lời giải câu 46

Ta có $g'(x)=f'(x)-2^x.\ln 2=0\Leftrightarrow{f}'(x)=2^x.\ln 2\,(*)$
Số nghiệm phương trình $(*)$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f'(x)$ và đồ thị hàm số $y=2^x.\ln 2$ .
Dựa vào đồ thị và $f'(0)=\ln 2$ , ta thấy đồ thị hàm số $y=f'(x)$ và đồ thị hàm số $y=2^x.\ln 2$ có hai giao điểm là $x=0,x=a>0$ , vậy phương trình $g'(x)=0$ có hai nghiệm $x=0,x=a>0$ . Suy ra $y=g\left(\left| x\right|\right)$ có 3 cực trị.
Chú ý: Hàm $f(x)=x^3-3x^2+\ln(2).x$

Câu 47. Cho $a,\,\,x$ là các số thực dương lớn hơn 1. Giá trị lớn nhất của $a$ thỏa mãn $\log_ax=\log (a^x)$ là
A. $10^{\sqrt{\dfrac{\log e}{e}}}$.
B. $e^{\sqrt{\dfrac{\ln 10}{e}}}$.
C. $10$.
D. $e$.

Lời giải câu 47

$\log_ax=\log\left(a^x\right)\Leftrightarrow{\log_a}10.\log x=x\log a\Leftrightarrow\log a=\sqrt{\dfrac{\log x}{x}}\Rightarrow a=10^{\sqrt{\dfrac{\log x}{x}}}$
Xét hàm số $y=\dfrac{\log x}{x}$
Có $y'=\left(\dfrac{\ln x}{\ln 10.x}\right)^{\prime}=\dfrac{1}{\ln 10}\left(\dfrac{1-\ln x}{x^2}\right)\Rightarrow{y}'=0\Leftrightarrow x=e$
Lập bảng biến thiên
$x$ $0$ $e$ $+\infty $
$y'$ $+$ $0$ $-$
$y$
$\dfrac{\log e}{e}$
Vậy $a$ đạt giá trị lớn nhất là $10^{\sqrt{\dfrac{\log e}{e}}}$

Câu 48. Cho hai hàm số $g(x)=a{x^3}+b{x^2}+cx+3$ và $h(x)=d{x^2}+ex,\,\left(a,b,c,d,e\in\mathbb{R}\right)$ . Biết rằng đồ thị hàm số $y=g(x)$ và đồ thị hàm số $y=h(x)$ cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $-1,1,3$ . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số trên bằng

A. $8$.
B. $7$.
C. $\dfrac{19}{2}$.
D. $\dfrac{17}{2}$.

Lời giải câu 48

Phương trình hoành độ giao điểm của $g(x),h(x)$ : $a{x^3}+b{x^2}+cx+3=d{x^2}+ex$
$\Leftrightarrow a{x^3}+\left(b-d\right){x^2}+\left(c-e\right)x+3=0$ , đặt $f(x)=a{x^3}+\left(b-d\right){x^2}+\left(c-e\right)x+3$
Do phương trình $f(x)=0$ có 3 nghiệm $x=-1;x=1;x=3$
suy ra $a{x^3}+\left(b-d\right){x^2}+\left(c-e\right)x+3=a\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x-3\right)$
$\Rightarrow f(0)=3=3a\Rightarrow a=1$ , suy ra $f(x)=\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x-3\right)$
Vậy diện tích: $\displaystyle\int\limits_{-1}^3\left|\left(x^2-1\right)\left(x-3\right)\right|dx=8$

Câu 49. Xét hai số phức $z_1,{z_2}$ là hai trong các số phức thỏa mãn $\left| z-3+\sqrt{3}i\right|=2$ và $\left|z_1-z_2\right|=4.$ Giá trị lớn nhất của $\left|z_1\right|+\left|z_2\right|$ bằng
A. $2+2\sqrt{3}$.
B. $4\sqrt{3}$.
C. $4$.
D. $8$.

Lời giải câu 49

Gọi $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức $z_1,z_2$ .
Do $\left\{\begin{aligned} &\left|z_1-3+\sqrt{3}i\right|=\left|z_2-3+\sqrt{3}i\right|=2\\ &\left|z_1-z_2\right|=4\\ \end{aligned}\right.$ nên $\left\{\begin{aligned} & M,N\in(C):{\left(x-3\right)^2}+\left(y+\sqrt{3}\right)^2=2^2\\ & MN=4=2.2\\ \end{aligned}\right.$ .
Như vậy $MN$ là đường kính của đường tròn $(C)$ với tâm $I\left(3;-\sqrt{3}\right)$ , bán kính $R=2$ , do đó $I$ là trung điểm $MN$ , $\text{O}I=\sqrt{12}$ .
Ta có $\left|z_1\right|+\left|z_2\right|=OM+ON\le\sqrt{\left(1+1\right)\left(O{M^2}+O{N^2}\right)}=\sqrt{2\left(2\text{O}{I^2}+\dfrac{M{N^2}}{2}\right)}=8$ .

Câu 50. Trong không gian $Oxyz$, cho hình nón $(N)$ có đỉnh $A(1;2;3)$, đường tròn đáy có tâm $B(4;-1;-3)$ và bán kính $R=3.$ Lấy điểm $I$ trên đoạn $AB,$ mặt phẳng $(P)$ qua $I$ vuông góc $AB$ cắt $(N)$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$. Xét hình trụ $(T)$ có hai đáy là đường tròn $(C)$ và đường tròn $(C')$ tâm $B.$ Khi $(T)$ có thể tích lớn nhất thì phương trình mặt phẳng $(P)$ là
A. $x-y-2z+1=0$.
B. $3x-3y-6z+1=0$.
C. $x-y-2z-2=0$ .
D. $x-y-2z-5=0$.

Lời giải câu 50



Gọi bán kính đường tròn $(C)$ là $r$ ,
ta có $\dfrac{r}{R}=\dfrac{AI}{AB}=\dfrac{AB-BI}{AB}\Rightarrow BI=AB\left(1-\dfrac{r}{R}\right)=\dfrac{AB}{R}\left(R-r\right)$
$V_{(T)}=\dfrac{1}{3}\pi{r^2}.BI=\dfrac{1}{3}\pi{r^2}.\dfrac{AB}{R}\left(R-r\right)$ $\Rightarrow{V_{(T)\_\max}}\Leftrightarrow f(r)=R{r^2}-r^3_{\_\max}$
$f'(r)=2.3r-3r^2=0\Leftrightarrow r=2$ $\Rightarrow\dfrac{2}{3}=\dfrac{r}{R}=\dfrac{AI}{AB}\Rightarrow\overrightarrow{AI}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\Rightarrow I\left(3;0;-1\right)$
$(P):\left(x-3\right)-y-2\left(z+1\right)=0$

   Số câu đúng   

No comments:

Post a Comment