Đề minh hoạ THPT Quốc Gia 2021 - Bộ giáo dục

Đề minh hoạ toán THPT Quốc Gia 2021

Tải Đề Thi

ĐỀ THI MINH HỌA THPT QUỐC GIA 2021

Thời gian làm bài:

Câu 1. Có bao nhiêu cách chọn ra $3$ học sinh từ một nhóm có $5$ học sinh?
A. $5!$.
B. $A_5^3.$ .
C. $C_5^3$.
D. $5^3$.

Lời giải câu 1
Số cách chọn 3 học sinh trong 5 học sinh: $C_5^3$ cách.

Câu 2. Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có $u_1=1$ và $u_2=3$ . Giá trị của $u_3$ bằng?
A. $6$.
B. $9$.
C. $4.$ .
D. $5$.

Lời giải câu 2
Công sai của CSC là $d=u_2-u_1=3-1=2.$
$\Rightarrow{u_3}=u_1+2d=1+2.2=5.$

Câu 3. Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào, trong các khoảng dưới đây?
A. $\left(-2;2\right).$ .
B. $\left(0;2\right)$.
C. $\left(-2;0\right)$.
D. $\left(2;+\infty\right)$.

Lời giải câu 3
Từ bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;-2\right)$ và $\left(0;2\right).$

Câu 4. Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Điểm cực đại của hàm số đã cho là:
A. $x=-3$.
B. $x=1$.
C. $x=2.$ .
D. $x=-2$.

Lời giải câu 4
Hàm số đạt cực đại tại $x=-2.$

Câu 5. Cho hàm số $f(x)$ có bảng xét dấu của đạo hàm $f'(x)$ như sau:
Hàm số $f(x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 4..
B. 1.
C. 2.
D. 3.

Lời giải câu 5
$f'(x)$ đổi dấu qua 4 điểm nên $f(x)$ có 4 điểm cực trị.
Chọn B.

Câu 6. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x+4}{x-1}$ là đường thẳng:
A. $x=1$.
B. $x=-1$.
C. $x=2$.
D. $x=-2$.

Lời giải câu 6
TXĐ: $D=\mathbb{R}\setminus\left\{ 1\right\}.$
Tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng $x=1.$
Chọn A

Câu 7. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
A. $y=-x^4+2x^2-1.$ .
B. $y=-x^4-2x^2-1$.
C. $y=x^3-3x^2-1$.
D. $y=-x^3+3x^2-1$.

Lời giải câu 7
Từ đồ thị, hàm số là hàm bậc 4 trùng phương: $y=\text{a}{\text{x}^4}+b{x^2}+c$ có $\underset{x\to\pm\infty}{\lim}\,=+\infty $ nên có hệ số $a>0.$
Chọn B

Câu 8. Đồ thị hàm số $y=x^3-3x+2$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
A. 0.
B. 1..
C. 2.
D. $-2$.

Lời giải câu 8
Đồ thị hàm số cắt trục tung nên có hoành độ $x=0\Rightarrow y=2.$
Chọn C

Câu 9. Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\log_3\left(9a\right)$ bằng
A. $\dfrac{1}{2}+\log_3a$.
B. $2\log_3a$.
C. $\left(\log_3a\right)^2.$ .
D. $2+\log_3a$.

Lời giải câu 9
$\log_3\left(9a\right)=\log_39+\log_3a=2+\log_3a.$
Chọn D

Câu 10. Đạo hàm của hàm số $y=2^x$ là:
A. $y'=2^x\ln 2$.
B. $y'=2^x.$ .
C. $y'=\dfrac{2^x}{\ln 2}$.
D. $y'=x{2^{x-1}}$.

Lời giải câu 10
$y'=\left(2^x\right)'=2^x.\ln 2.$
Chọn C

Câu 11. Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\sqrt{a^3}$ bằng
A. $a^6.$ .
B. $a^{\dfrac{3}{2}}$.
C. $a^{\dfrac{2}{3}}$.
D. $a^{\dfrac{1}{6}}$.

Lời giải câu 11
$\sqrt{a^3}=\left(a^3\right)^{\dfrac{1}{2}}=a^{\dfrac{3}{2}}.$
Chọn B

Câu 12. Nghiệm của phương trình $5^{2x-4}=25$ là:
A. $x=3$.
B. $x=2$.
C. $x=1$.
D. $x=-1$.

Lời giải câu 12
$5^{2x-4}=25\Leftrightarrow{5^{2x-4}}=5^2$
$\Leftrightarrow 2x-4=2\Leftrightarrow x=3$
Vậy phương trình có nghiệm $x=3.$
Chọn A

Câu 13. Nghiệm của phương trình $\log_2\left(3x\right)=3$ là:
A. $x=3$.
B. $x=2.$ .
C. $x=\dfrac{8}{3}$.
D. $x=\dfrac{1}{2}$.

Lời giải câu 13
ĐKXĐ: $x>0$
Ta có:
$\log_2\left(3x\right)=3\Leftrightarrow 3x=2^3$
$\Leftrightarrow 3x=8\Leftrightarrow x=\dfrac{8}{3}$
Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{8}{3}$ .
Chọn C

Câu 14. Cho hàm số $f(x)=3x^2-1.$ Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. $\displaystyle\int{f(x)dx=3x^3-x+C}.$ .
B. $\displaystyle\int{f(x)dx=x^3-x+C}$.
C. $\displaystyle\int{f(x)dx=\dfrac{1}{3}{x^3}-x+C}$.
D. $\displaystyle\int{f(x)dx=x^3-C}$.

Lời giải câu 14
$\displaystyle\int{f(x)dx=\displaystyle\int{\left(3x^2-1\right)dx=x^3-x+C}}$
Chọn B

Câu 15. Cho hàm số $f(x)=\cos 2x.$ Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. $\displaystyle\int{f(x)dx=\dfrac{1}{2}\sin 2x+C}$.
B. $\displaystyle\int{f(x)dx=-\dfrac{1}{2}\sin 2x+C}$.
C. $\displaystyle\int{f(x)dx=2\sin 2x+C}$.
D. $\displaystyle\int{f(x)dx=-2\sin 2x+C}$.

Lời giải câu 15
$\displaystyle\int{f(x)dx=\displaystyle\int{\left(\cos 2x\right)dx=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int{\left(\cos 2x\right)d\left(2x\right)=\dfrac{1}{2}\sin 2x}+C}}$
Chọn A

Câu 16. Nếu $\displaystyle\int\limits_1^2f(x)dx=5$ và $\displaystyle\int\limits_2^3f(x)dx=-2$ thì $\displaystyle\int\limits_1^3f(x)dx$ bằng
A. 3.
B. 7.
C. $-10$.
D. $-7$.

Lời giải câu 16
$\displaystyle\int\limits_1^3f(x)dx=\displaystyle\int\limits_1^2f(x)dx+\displaystyle\int\limits_2^3f(x)dx=5+\left(-2\right)=3.$
Chọn A

Câu 17. Tích phân $\displaystyle\int\limits_1^2x^3dx$ bằng
A. $\dfrac{15}{3}$.
B. $\dfrac{17}{4}$.
C. $\dfrac{7}{4}.$ .
D. $\dfrac{15}{4}$.

Lời giải câu 17
$\displaystyle\int\limits_1^2x^3dx=\dfrac{1}{4}{x^4}\left|\begin{aligned} & 2\\ & 1\\ \end{aligned}\right.=4-\dfrac{1}{4}=\dfrac{15}{4}.$
Chọn D

Câu 18. Số phức liên hợp của số phức $z=3+2i$ là:
A. $\overline{z}=3-2i$.
B. $\overline{z}=3+2i$.
C. $\overline{z}=-3+2i$.
D. $\overline{z}=-3-2i$.

Lời giải câu 18
$z=3+2i\Rightarrow\overline{z}=3-2i.$
Chọn A

Câu 19. Cho hai số phức $z=3+i$ và $w=2+3i.$ Số phức $z-w$ bằng
A. $1+4i.$ .
B. $1-2i$.
C. $5+4i$.
D. $5-2i$.

Lời giải câu 19
$z-\text{w}=\left(3+i\right)-\left(2+3i\right)=\left(3-2\right)+\left(1-3\right)i=1-2i.$
Chọn B

Câu 20. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức $3-2i$ có tọa độ là
A. $\left(2;3\right)$.
B. $\left(-2;3\right)$.
C. $\left(3;2\right).$ .
D. $\left(3;-2\right)$.

Lời giải câu 20
Số phức $3-2i$ có điểm biểu diễn trong mặt phẳng là điểm $\left(3;2\right).$
Chọn D

Câu 21. Một khối chóp có diện tích đáy bằng $6$ và chiều cao bằng $5.$ Thể tích của khối chóp bằng
A. 10..
B. 30.
C. 90.
D. 15.

Lời giải câu 21
Thể tích khối hộp chữ nhật có 3 kích thước $2;3;7$ là $V=2.3.7=42.$
Chọn B

Câu 22. Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước $2;3;7$ bằng
A. 14..
B. 42.
C. 126.
D. 12.

Lời giải câu 22

Câu 23. Công thức tính thể tích $V$ của khối nón có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ là:
A. $V=\pi rh$.
B. $V=\pi{r^2}h$.
C. $V=\dfrac{1}{3}\pi rh.$ .
D. $V=\dfrac{1}{3}\pi{r^2}h$.

Lời giải câu 23
Công thức tính thể tích của khối nón có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ là $V=\dfrac{1}{3}\pi{r^2}h.$
Chọn D

Câu 24. Một hình trụ có bán kính đáy $r=4cm$ và độ dài đường sinh $l=3m.$ Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng
A. $12\pi c{m^2}$.
B. $48\pi c{m^2}.$ .
C. $24\pi c{m^2}$.
D. $36\pi c{m^2}$.

Lời giải câu 24
Diện tích xung quanh của hình trụ là $S_{xq}=2\pi rl=24\pi\left(c{m^2}\right).$
Chọn C

Câu 25. Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left(1;1;2\right)$ và $B\left(3;1;0\right).$ Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ là
A. $\left(4;2;2\right).$ .
B. $\left(2;1;1\right)$.
C. $\left(2;0;-2\right)$.
D. $\left(1;0;-1\right)$.

Lời giải câu 25
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ ta có:$\left\{\begin{aligned} &{x_M}=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{1+3}{2}=2\\ &{y_M}=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{1+1}{2}=1\\ &{z_M}=\dfrac{z_A+z_B}{2}=\dfrac{2+0}{2}=1\\ \end{aligned}\right..$
Vậy $M\left(2;1;1\right).$

Câu 26. Trong không gian $Oxyz,$ mặt cầu $(S):{x^2}+\left(y-1\right)^2+z^2=9$ có bán kính bằng
A. 9..
B. 3.
C. 81.
D. 6.

Lời giải câu 26
Mặt cầu $(S):{x^2}+\left(y-1\right)^2+z^2=9$ có bán kính $R=\sqrt{9}=3.$
Chọn B

Câu 27. Trong không gian $Oxyz,$ mặt phẳng nào dưới đây đi qua điểm $M\left(1;-2;1\right)?$
A. $\left(P_1\right):x+y+z=0$.
B. $\left(P_2\right):x+y+z-1=0$.
C. $\left(P_3\right):x-2y+z=0$.
D. $\left(P_4\right):x+2y+z-1=0$.

Lời giải câu 27
Thay $M$ vào $\left(P_1\right)$ ta được: $1-2+1=0$ nên $M\in\left(P_1\right).$
Chọn A

Câu 28. Trong không gian $Oxyz,$ vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O$ và điểm $M\left(1;-2;1\right)?$
A. $\overrightarrow{u_1}=\left(1;1;1\right)$.
B. $\overrightarrow{u_2}=\left(1;2;1\right)$.
C. $\overrightarrow{u_3}=\left(0;1;0\right).$ .
D. $\overrightarrow{u_4}=\left(1;-2;1\right)$.

Lời giải câu 28
1 VTCP của đường thẳng đi qua $O,M$ là $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OM}=\left(1;-2;1\right)=\overrightarrow{u_4}.$
Chọn D

Câu 29. Cho ngẫu nhiên một số trong $15$ số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được số chẵn bằng
A. $\dfrac{7}{8}$.
B. $\dfrac{8}{15}.$ .
C. $\dfrac{7}{15}$.
D. $\dfrac{1}{2}$.

Lời giải câu 29
Không gian mẫu là $\Omega=\left\{ 1;2;3;...;15\right\}\Rightarrow\left|\Omega\right|=15.$
Gọi $A$ là biến cố chọn được số chẵn trong 15 số nguyên dương đầu tiên.
Trong 15 số nguyên dương đầu tiên có 7 số nguyên dương chẵn là $\left\{ 2;4;6;8;10;12;14\right\}$ nên $\left|\Omega_A\right|=7.$
Vậy xác suất của biến cố $A$ là $P(A)=\dfrac{\left|\Omega_A\right|}{\left|\Omega\right|}=\dfrac{7}{15}.$
Chọn C

Câu 30. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên $R$ ?
A. $y=\dfrac{x+1}{x-2}$.
B. $y=x^2+2x$.
C. $y=x^3-x^2+x$.
D. $y=x^4-3x^2+2$.

Lời giải câu 30

Câu 31. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x^4-2x^2+3$ trên đoạn $\left[0;2\right].$ Tổng $M+m$ bằng
A. 11.
B. 14.
C. 5..
D. 13.

Lời giải câu 31
TXĐ: $D=\mathbb{R}.$ Ta có: $f'(x)=4x^3-4x$
Cho $f'(x)=0\Leftrightarrow 4x\left(x^2-1\right)=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} & x=0\in\left[0;2\right]\\ & x=1\in\left[0;2\right]\\ & x=-1\in\left[0;2\right]\\ \end{aligned}\right..$
Ta có: $f(0)=3,f(2)=11,f(1)=2$
Vậy $M=11,m=2\Rightarrow M+m=11+2=13.$
Chọn D

Câu 32. Tập nghiệm của bất phương trình $3^{4-x^2}\ge 27$ là
A. $\left[-1;1\right]$.
B. $\left(-\infty ;1\right]$.
C. $\left[-\sqrt{7};\sqrt{7}\right]$.
D. $\left[1;+\infty\right)$.

Lời giải câu 32
Ta có:
$3^{4-x^2}\ge 27$
$\Leftrightarrow 4-x^2\ge 3$
$\Leftrightarrow{x^2}\le 1\Leftrightarrow-1\le x\le 1$
Vậy nghiệm của bất phương trình là $\left[-1;1\right].$
Chọn A

Câu 33. Nếu $\displaystyle\int\limits_1^3\left[2f(x)+1\right]dx=5$ thì $\displaystyle\int\limits_1^3f(x)dx$ bằng
A. 3.
B. 2.
C. $\dfrac{3}{4}.$ .
D. $\dfrac{3}{2}$.

Lời giải câu 33
Ta có:
$\displaystyle\int\limits_1^3\left[2f(x)+1\right]dx=2\displaystyle\int\limits_1^3f(x)dx+\displaystyle\int\limits_1^3dx$
$\Leftrightarrow 5=2\displaystyle\int\limits_1^3f(x)dx+x\left|\begin{aligned} & 3\\ & 1\\ \end{aligned}\right.$
$\Leftrightarrow 5=2\displaystyle\int\limits_1^3f(x)dx+2$
$\Leftrightarrow\displaystyle\int\limits_1^3f(x)dx=\dfrac{3}{2}$
Chọn D

Câu 34. Cho số phức $z=3+4i.$ Môđun của số phức $\left(1+i\right)z$ bằng
A. 50.
B. 10.
C. $\sqrt{10}.$ .
D. $5\sqrt{2}$.

Lời giải câu 34
Ta có: $w=\left(1+i\right)z$
$\Rightarrow\left|\text{w}\right|=\left| 1+i\right|.\left| z\right|=\sqrt{1^2+1^2}.\sqrt{3^2+4^2}=5\sqrt{2}.$
Chọn D

Câu 35. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB=AD=2$ và $AA'=2\sqrt{2}$ (tham thảo hình bên). Góc giữa đường thẳng $CA'$ và mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ bằng

A. $30^0.$ .
B. $45^0$.
C. $60^0$.
D. $90^0$.

Lời giải câu 35
Vì $\text{AA}'\perp\left(ABCD\right)$ nên $CA$ là hình chiếu vuông góc của $CA'$ lên $\left(ABCD\right).$
$\Rightarrow\angle\left(CA';\left(ABCD\right)\right)=\angle\left(CA';CA\right)=\angle A'CA.$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $ABC$ ta có:
$AC=\sqrt{A{B^2}+A{D^2}}=2\sqrt{2}\text{=AA}'\Rightarrow\Delta\text{AA}\!\!'\!\!\text{C}$ vuông cân tại $\Rightarrow\angle\text{ACA}'=45^0.$
Vậy $\angle\left(CA';\left(ABCD\right)\right)=45^0.$
Chọn B

Câu 36. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có độ dài cạnh đáy bằng $2$ và độ dài cạnh bên bằng 3 (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ bằng

A. $\sqrt{7}$.
B. 1.
C. 7.
D. $\sqrt{11}$.

Lời giải câu 36

Gọi $\left\{ O\right\}=AC\cap BD.$ Vì $S.ABCD$ là chóp tứ giác đều nên $SO\perp\left(ABCD\right),$ do đó $d\left(S;\left(ABCD\right)\right)=SO.$
Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh 2 nên $BD=2\sqrt{2}\Rightarrow OD=\sqrt{2}.$
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông $SOD$ ta có:
$SO=\sqrt{S{D^2}-O{D^2}}=\sqrt{9-2}=\sqrt{7}$
Vậy $d\left(S;\left(ABCD\right)\right)=\sqrt{7}.$
Chọn A

Câu 37. Trong không gian $Oxyz,$ mặt cầu có tâm là gốc tọa độ $O$ và đi qua điểm $M\left(0;0;2\right)$ có phương trình là:
A. $x^2+y^2+z^2=2.$ .
B. $x^2+y^2+z^2=4$.
C. $x^2+y^2+\left(z-2\right)^2=2$.
D. $x^2+y^2+\left(z-2\right)^2=4$.

Lời giải câu 37
Bán kính mặt cầu có tâm là gốc tọa độ $O$ và đi qua điểm $M\left(0;0;2\right)$ là $R=OM=\sqrt{0^2+0^2+2^2}=2.$
Vậy phương trình mặt càu cần tìm là $x^2+y^2+z^2=4.$
Chọn B

Câu 38. Trong không gian $Oxyz,$ đường thẳng đi qua hai điểm $A\left(1;2;-1\right)$ và điểm $B\left(2;-1;1\right)$ có phương trình tham số là:
A. $\left\{\begin{aligned} & x=1+t\\ & y=2-3t\\ & z=-1+2t\\ \end{aligned}\right.$.
B. $\left\{\begin{aligned} & x=1+t\\ & y=2-3t\\ & z=1+2t\\ \end{aligned}\right.$.
C. $\left\{\begin{aligned} & x=1+t\\ & y=-3+2t\\ & z=2-t\\ \end{aligned}\right.$.
D. $\left\{\begin{aligned} & x=1+t\\ & y=1+2t\\ & z=-t\\ \end{aligned}\right.$.

Lời giải câu 38

Câu 39. Cho hàm số $f(x),$ đồ thị của hàm số $y=f'(x)$ là đường cong trong hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số $g(x)=f\left(2x\right)-4x$ trên đoạn $\left[-\dfrac{3}{2};2\right]$ bằng

A. $f(0)$.
B. $f\left(-3\right)+6.$ .
C. $f(2)-4$.
D. $f(4)-8$.

Lời giải câu 39

Ta có: $g'(x)=2f'\left(2x\right)-4$
Cho $g'(x)=0\Leftrightarrow 2f'\left(2x\right)-4=0\Leftrightarrow f'\left(2x\right)=2\Leftrightarrow f'\left(2x\right)=1.$
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f'(x)$ đề bài cho ta thấy trên $\left[-\dfrac{3}{2};2\right]$ đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị hàm số $y=f'(x)$ tại $x-0,x=2,$ trong đó $x=0$ là nghiệm kép.
Do đó $f'\left(2x\right)=1\Leftrightarrow 2x=2\Leftrightarrow x=1$ (không xét nghiệm kép $2x=0$ vì qua các nghiệm của phương trình này thì $g'(x)$ không đổi dấu.
Lấy $x=0$ ta có $g'\left(-1\right)=2f'\left(-1\right)-4>0$ do $f'\left(-1\right)>2$
Do đó ta có bảng xét dấu $g'(x)$ trên $\left[-\dfrac{3}{2};1\right]$ như sau:
$x$ $-\dfrac{3}{2}$ 1
$g'(x)$ $+$ 0
$g(1)$
$g(x)$
$g\left(-\dfrac{3}{2}\right)$
Với $\underset{\left[-\dfrac{3}{2};1\right]}{\mathop{\text{max}}}\,g(x)=g(1)=f(2)-4.$
Chọn

Câu 40. Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ sao cho ứng với mỗi $y$ có không quá $10$ số nguyên $x$ thỏa mãn $\left(2^{x+1}-\sqrt{2}\right)\left(2^x-y\right)< 0?$
A. $1024$.
B. 2047.
C. 1022.
D. 1023.

Lời giải câu 40
$\left(2^{x+1}-\sqrt{2}\right)\left(2^x-y\right)< 0\Leftrightarrow\left(2^x-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(2^x-y\right)< 0$
Vậy $y>0$ nên bất phương trình có không quá 10 nghiệm nguyên khi và chỉ khi
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}< 2^x< y\Leftrightarrow-\dfrac{1}{2}< x< \log_2y.$
Nếu $\log_2y>10\Rightarrow x\in\left\{ 0;1;2;...;10\right\}$ đều là nghiệm, do đó không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
$\Rightarrow{\log_2}y\le 10\Leftrightarrow y\le 1024.$
Mà $y$ là số nguyên dương nên $y\in\left\{ 1;2;3;...;1023;1024\right\}.$
Vậy có $1024$ gí trị nguyên dương của $y$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn A

Câu 41. Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}-1 & \text { khi } x \geq 2
x^{2}-2 x+3 & \text { khi } x< 2\end{array}\right.$ Tích phân $\displaystyle\int\limits_0^{\dfrac{\pi}{2}}{f\left(2\sin x+1\right)\cos xdx}$ bằng
A. $\dfrac{23}{3}.$ .
B. $\dfrac{23}{6}$.
C. $\dfrac{17}{6}$.
D. $\dfrac{17}{3}$.

Lời giải câu 41
Xét $I=\displaystyle\int\limits_0^{\dfrac{\pi}{2}}{f\left(2\sin x+1\right)\text{cosxdx}}.$
Đặt $t=2\operatorname{s}\text{inx+1}$ ta có $dt=2\cos xdx.$
Đổi cận: $\left\{\begin{aligned} & x=0\Rightarrow t=1\\ & x=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow t=3\\ \end{aligned}\right..$ Khi đó ta có:
$I=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\limits_1^3f(t)dt=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\limits_1^3f(x)dx$
$=\dfrac{1}{2}\left(\displaystyle\int\limits_1^2f(x)dx+\displaystyle\int\limits_2^3f(x)dx\right)$
$=\dfrac{1}{2}\left(\displaystyle\int\limits_1^2\left(x^2-2x+3\right)dx+\displaystyle\int\limits_2^3\left(x^2-1\right)dx\right)$
$=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{7}{3}+\dfrac{16}{3}\right)=\dfrac{23}{6}$
Chọn B

Câu 42. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z\right|=\sqrt{2}$ và $\left(z+2i\right)\left(\overline{z}-2\right)$ là số thuần ảo?
A. 1.
B. 0..
C. 2.
D. 4.

Lời giải câu 42
Đặt $\text{w}=\left(z+2i\right)\left(\overline{z}-2\right)$
$=z.\overline{z}-2z+2i\overline{z}-4i$
$=\left| z\right|^2-2z+2i\overline{z}-4i$
$=2-2z+2i\overline{z}-4i$
Đặt $z=x+yi\left(x;y\in\mathbb{R}\right)\Rightarrow\overline{z}=x-yi,$ khi đó ta có:
$\text{w}=2-2z+2i\overline{z}-4i$
$=2-2\left(x+yi\right)+2i\left(x-yi\right)-4i$
$=2-2x-2yi+2xi+2y-4i$
$=\left(2-2x+2y\right)+\left(2x-2y-4\right)i$
Vì $\text{w}$ là số thuần ảo nên $2-2x+2y=0\Leftrightarrow x=y+1.$
Lại có $\left| z\right|=2\Leftrightarrow{x^2}+y^2=4\Rightarrow{\left(y+1\right)^2}+y^2=4\Leftrightarrow 2y^2+2y-3=0\Leftrightarrow y=\dfrac{-1\pm\sqrt{7}}{2}.$
Vậy có 2 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn C

Câu 43. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a,$ cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa $SA$ và mặt phẳng $\left(SBC\right)$ bằng $45^0$ (tham khảo hình bên). Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng

A. $\dfrac{a^3}{8}$.
B. $\dfrac{3a^3}{8}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}{a^3}}{12}$.
D. $\dfrac{a^3}{4}$.

Lời giải câu 43

Gọi $M$ là trung điểm $BC,$ trong $\left(SAM\right)$ kẻ $AH\perp SM\left(H\in SM\right)$ ta có:
$\left\{\begin{aligned} & BC\perp AM\\ & BC\perp SA\\ \end{aligned}\right.\Rightarrow BC\perp\left(SAM\right)\Rightarrow BC\perp AH$
$\left\{\begin{aligned} & AH\perp BC\left(cmt\right)\\ & AH\perp SM\\ \end{aligned}\right.\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)$
$\Rightarrow SH$ là hình chiếu vuông góc của $SA$ lên $\left(SBC\right)$
$\Rightarrow\angle\left(SA;\left(SBC\right)\right)=\angle\left(SA;SH\right)\Leftrightarrow ASH=\angle ASM=45^0\Rightarrow\Delta SAM$ vuông cân tại $A.$
Vì $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SA=AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ và $S_{\Delta ABC}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}.$
Vậy $V_{S.ABC}=\dfrac{1}{3}SA.S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a^3}{8}.$
Chọn A

Câu 44. Ông Bình làm lan can ban công ngôi nhà của mình bằng một tấm kính cường lực. Tấm kính đó là môt phần của mặt xung quanh của một hình như hình bên. Biết giá tiền của $1$ ${{m}^{2}}$ như trên là $1.500.000$ đồng. Hỏi số tiền $($làm tròn đến hàng nghin$)$ mà ông Bình mua tấm kính trên là bao nhiêu?

A. 23.519.100 đồng.
B. 36.173.000 đồng..
C. 9.437.000 đồng.
D. 4.718.000 đồng.

Lời giải câu 44

Giả sử $\left(O;R\right)$ là đường tròn đáy của hình trụ.
Áp dụng định lý $\sin $ trong tam giác $ABC,$ với $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$
Ta có: $\dfrac{MN}{\sin A}=2R\Leftrightarrow R=4,45.$
$\Rightarrow $ Diện tích xung quanh của hình trụ là: $S_{xq}=2\pi Rh=2\pi .4,45.1,35=12,015\pi\left(m^2\right).$
Vì $OM=ON=MN=4,45$ nên $\Delta OMN$ là tam giác đều $\Rightarrow\angle MON=60^0.$
$\Rightarrow $ Diện tích tấm cường lực là: $\dfrac{1}{3}{S_{xq}}\left(m^2\right).$
Vậy số tiền Ông Bình mua tấm kính trên là: $\dfrac{1}{6}.12,105\pi .1500000\approx 9436558$ (đồng).

Câu 45. Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt phẳng $(P):2x+2y-z-3=0$ và hai đường thẳng $d_1:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+1}{-2},d_2:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+1}{-1}.$ Đường thẳng vuông góc với $(P),$ đồng thời cắt cả $d_1$ và $d_2$ có phương trình là
A. $\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z+2}{-1}$.
B. $\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z+1}{-2}$.
C. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{-2}=\dfrac{z+1}{-1}$.
D. $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{-1}$.

Lời giải câu 45
Gọi $\Delta $ là đường thẳng cần tìm
Gọi $A=\Delta\cap{d_1}\Rightarrow A\left(1+2t;t;-1-2t\right)$
Gọi $B=\Delta\cap{d_2}\Rightarrow B\left(2+t';2t';-1-t'\right)$
$\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(t'-2t+1;2t'-t;-t'+2t\right).$
Vì $\Delta\perp(P)$ nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{n_P}=\left(2;2;-1\right)$ là 2 vectơ cùng phương.
$\Rightarrow\dfrac{t'-2t+1}{2}=\dfrac{2t'-t}{2}=\dfrac{-t'+2t}{-1}$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} & t'-2t+1=2t'-t\\ & t'-2t+1=2t'-4t\\ \end{aligned}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} & t'+t=1\\ & t'-2t=1\\ \end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} & t'=1\\ & t=0\\ \end{aligned}\right.$
$\Rightarrow A\left(1;0;-1\right),B\left(3;2;-2\right)$
$\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(2;2;-1\right).$
Vậy phương trình đường thẳng $\Delta $ là: $\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z+2}{-1}.$
Chọn A

Câu 46. Cho $f(x)$ là hàm số bậc bốn thỏa mãn $f(0)=0.$ Hàm số $f'(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số $g(x)=\left| f\left(x^3\right)-3x\right|$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3.
B. 5.
C. 4.
D. 2.

Lời giải câu 46
Xét hàm số $h(x)=f\left(x^3\right)-3x$ ta có $h'(x)=3x^2f'\left(x^3\right)-3.$
Cho $h'(x)=0\Leftrightarrow 3x^2f'\left(x^3\right)-3=0\Leftrightarrow{x^2}f'\left(x^3\right)-1=0\Leftrightarrow f'\left(x^3\right)=\dfrac{1}{x^2}.$
Đặt $t=x^3\Rightarrow x=\sqrt[3]{t}\Rightarrow{x^2}=\left(\sqrt[3]{t}\right)^2$ ta có $f'(t)=\dfrac{1}{\left(\sqrt[3]{t}\right)^2}(*).$
Xét hàm số $k(t)=\dfrac{1}{\left(\sqrt[3]{t}\right)^2}$ ta có $k(t)=t^{-\frac{2}{3}}$$\Rightarrow k^{\prime}(t)=-\frac{2}{3} \cdot t^{-\frac{5}{3}}=-\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{t^{5}}}$ BBT:
Khi đó ta có đồ thị hàm số:
Dựa vào đồ thị ta thấy $(*)\Leftrightarrow t=a>0\Leftrightarrow{x^3}=a\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{a}.$
$\Rightarrow $ Hàm số $h(x)=f\left(x^3\right)-3x$ có 1 điểm cực trị.
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy $h\left(\sqrt[3]{a}\right)< h(0)=f(0)=0$ Do đó phương trình $h(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy hàm số $g(x)=\left| h(x)\right|$ có tất cả 3 điểm cực trị.

Câu 47. Có bao nhiêu số nguyên $a\left(a\ge 2\right)$ sao cho tồn tại số thực $x$ thỏa mãn:
$\left(a^{\log x}+2\right)^{\log a}=x-2?$
A. 8.
B. 9.
C. 1.
D. Vô số.

Lời giải câu 47
Ta có: $\left(a^{\log x}+2\right)^{\log a}=x-2\Leftrightarrow{\left(x^{\log a}+2\right)^{\log a}}=x-2$
Đặt $b=\log a\Leftrightarrow a=10^b.$ Vì $a\ge 2\Rightarrow b\ge\log 2>0.$
Phương trình đã cho trở thành:
$\left(x^b+2\right)^b=x-2\Leftrightarrow{\left(x^b+2\right)^b}+\left(x^b+2\right)=x^b+x(*).$
Xét hàm số $f(t)=t^b+t$ ta có $f'(t)=b{t^{b-1}}+1>0\Rightarrow $ Hàm số $y=f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Do đó $(*)\Leftrightarrow{x^b}+2=x\Leftrightarrow{x^{\log a}}=x-2\left(**\right).$
Với $\log a\ge 1$ ta có đồ thị hàm số như sau:
$\Rightarrow $ Phương trình $\left(**\right)$ vô nghiệm.
Với $\log a< 1$ ta có đồ thị hàm số như sau:
$\Rightarrow $ Phương trình $\left(**\right)$ có nghiệm $\Rightarrow $ Thỏa mãn.
$\Rightarrow\log a< 1\Leftrightarrow a< 10.$ Kết hợp điều kiện đề bài ta có $a\in\left\{ 2;3;4;...;9\right\}.$
Vậy có 8 giá trị của $a$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 48. Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Biết hàm số $f(x)$ đạt cực trị tại điểm $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_2=x_1+2$ và $f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)=0.$ Gọi $S_1$ và $S_2$ là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên. Tỉ số $\dfrac{S_1}{S_2}$ bằng

A. $\dfrac{3}{4}$.
B. $\dfrac{5}{8}$.
C. $\dfrac{3}{8}.$ .
D. $\dfrac{3}{5}$.

Lời giải câu 48
Chọn $x_1=1\Rightarrow{x_2}=3,$ khi đó ta chọn $f'(x)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)=x^2-4x+3$
$\Rightarrow f(x)=\dfrac{x^3}{3}-2x^2+3x+c.$
Vì $f(x)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên chọn $f(x)=\dfrac{x^3}{3}-2x^2+3x-\dfrac{2}{3}.$
Xét phương trình hoành độ giao điểm $f(x)=\dfrac{x^3}{3}-2x^2+3x-\dfrac{2}{3}=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} & x=2-\sqrt{3}\\ & x=2+\sqrt{3}\\ & x=2\\ \end{aligned}\right.$
$\Rightarrow{S_2}=\displaystyle\int\limits_1^2\left(\dfrac{x^3}{3}-2x^2+3x-\dfrac{2}{3}\right)dx=\dfrac{5}{12}.$
Với $x=1\Rightarrow f(1)=\dfrac{2}{3}\Rightarrow{S_{HCN}}=\dfrac{2}{3}.1=\dfrac{2}{3}.$
$\Rightarrow{S_1}=S_{HCN}-S_1=\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{12}=\dfrac{1}{4}.$
Vậy $\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{23}{12}:\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{3}.$
Chọn

Câu 49. Xét hai số phức $z_1,z_2$ thỏa mãn $\left|z_1\right|=1,\left|z_2\right|=2$ và $\left|z_1-z_2\right|=\sqrt{3}.$ Giá trị lớn nhất của $\left| 3z_1+z_2-5i\right|$ bằng
A. $5-\sqrt{19}.$ .
B. $5+\sqrt{19}$.
C. $-5+2\sqrt{19}$.
D. $5+2\sqrt{19}$.

Lời giải câu 49

Gọi $A,B$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức $z_1,z_2$
Vì $\left|z_1\right|=1$ nên tập hợp các điểm $M$ là đường tròn tâm $O$ bán kính $R_1=1\Rightarrow OM=1.$
Vì $\left|z_2\right|=2$ nên tập hợp các điểm $N$ là đường tròn tâm $O$ bán kính $R_2=2\Rightarrow ON=2.$
Vì $\left|z_1-z_2\right|=\sqrt{3}$ nên $MN=\sqrt{3}.$
Đặt $z_3=3z_1+z_2$ là gọi $P$ là điểm biểu diễn số phức $z_3,$ khi đó ta có $\overrightarrow{OP}=3\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OM'}+\overrightarrow{ON}.$
$\Rightarrow OM'PN$ là hình bình hàng.
Khi đó $O{P^2}=OM{'^2}+O{N^2}+2OM'.ON.\cos\angle M'ON.$
Lại có $\Delta OMN$ vuông tại $M$ (định lý Pytago đảo) $\Rightarrow c\text{os}\angle\text{MON=}\dfrac{OM}{ON}=\dfrac{1}{2}.$
$\Rightarrow O{P^2}=OM{'^2}+O{N^2}+2OM'.ON.c\text{os}\angle\text{M}\!\!'\!\!\text{ON}$
$=3^2+2^2+2.3.2.\dfrac{1}{2}=19$
$\Rightarrow OP=\sqrt{19}$
Gọi $Q\left(0;-5\right)$ là điểm biểu diễn số phức $5i,$ khi đó ta có $\left| 3z_1+z_2-5i\right|=PQ.$
Do đó $\left| 3z_1+z_2-5i\right|_{max}=P{Q_{_{max}}}.$
Áp dụng BĐT tam giác có $PQ\le OP+OQ=\sqrt{19}+5.$
$\Rightarrow P{Q_{max}}=5+\sqrt{19}.$ Dấu $''=''$ xảy ả khi $P,O,Q$ thẳng hàng.
Chọn

Câu 50. Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left(2;1;3\right)$ và $B\left(6;5;5\right).$ Xét khối nón $(N)$ có đỉnh $A,$ đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính $AB.$ Khi $(N)$ có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của $(N)$ có phương trình dạng $2x+by+cz+d=0.$ Giá trị của $b+c+d$ bằng
A. $-21$.
B. $-12.$ .
C. $-18$.
D. $-15$.

Lời giải câu 50

Không mất tính tổng quát ta giả sử đường cao của hình trụ trùng với $AB.$
Gọi $I$ là tâm mặt cầu đường kính $AB.$
Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng chứa đường tròn đáy của hình nón $(N).$
Đặt $R,r$ lần lượt là bán kính mặt cầu và bán kính đường tròn đáy của hình nón.
Ta có $AB=\sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6\Rightarrow R=\dfrac{1}{2}AB=3.$
Gọi $h$ là chiều cao hình trụ $\left(h>3\right)\Rightarrow IH=h-3$
$\Rightarrow r=\sqrt{3^2-\left(h-3\right)^2}=\sqrt{-h^2+6h}.$
$\Rightarrow $ Thể tích khối nón $(N)$ là: $V=\dfrac{1}{3}\pi{r^2}h=\dfrac{1}{3}\pi .\left(-h^2+6h\right).h=\dfrac{1}{3}\pi{h^2}\left(6-h\right).$
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: $h^2\left(6-h\right)=\dfrac{1}{2}h.h.\left(12-2h\right)\le\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{h+h+12-2h}{3}\right)^3=32.$
$\Rightarrow{V_{(N)}}\le\dfrac{1}{3}\pi .32=\dfrac{32\pi}{3}.$
Dấu $''=''$ xảy ra $\Leftrightarrow h=12-2h=h=4\Rightarrow\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow\overrightarrow{AH}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}.$
$\Rightarrow\left(x_H-2;{y_H}-1;{z_H}-3\right)=\dfrac{2}{3}\left(4;4;2\right)$
$\Rightarrow\left\{\begin{aligned} &{x_H}-2=\dfrac{8}{3}\\ &{y_H}-1=\dfrac{8}{3}\\ &{z_H}-3=\dfrac{4}{3}\\ \end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} &{x_H}=\dfrac{14}{3}\\ &{y_H}=\dfrac{11}{3}\\ &{z_H}=\dfrac{13}{3}\\ \end{aligned}\right.\Rightarrow H\left(\dfrac{14}{3};\dfrac{11}{3};\dfrac{13}{3}\right)$
$\Rightarrow $ Mặt phẳng chứa đường tròn đáy của hình nón đi qua $H\left(\dfrac{14}{3};\dfrac{11}{3};\dfrac{13}{3}\right)$ và có 1 VTPT là $\overrightarrow{n}$ $=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\left(2;2;1\right)$
Vậy phương trình mặt phẳng chứa đường tròn đáy của hình nón:
$2\left(x-\dfrac{14}{3}\right)+2\left(y-\dfrac{11}{3}\right)+1\left(z-\dfrac{13}{3}\right)=0\Leftrightarrow 2x+2y+z-21=0.$
Chọn C.

   Số câu đúng   

Họ và tên     Lớp    

Bạn đã nộp bài!